（2014?海曙区模拟）如图，AB、CD为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF折叠，使B与圆心M重合

Question

（2014?海曙区模拟）如图，AB、CD为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF折叠，使B与圆心M重合，折痕EF与AB相交于N，连结AE、AF，得到了以下结论：①四边形MEBF是菱形；②△AEF为等边三角形；③AE是EMF所在圆的切线；④S△AEF：S圆=33：4π．其中正确的有（　　）A．1个B．2个C．3个D．4个

Answer 1

①根据垂径定理，BM垂直平分EF，
又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，
∴BN=MN，
∴BM、EF互相垂直平分，
∴四边形MEBF是菱形，故①正确；

②如图，连接ME，则ME=MB=2MN．
∵∠ENM=90°，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半径），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=

1

2

∠EMN=

1

2

×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，故②正确；

③如图，连接BE、BF．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°．
又∠EAB=30°，
∴EB=

1

2

AB．
∵EM是直角△AEB的中线，
∴EM=AM=BM=

1

2

AB，
∴EB=BM．
同理，BF=BM，
则EB=BM=BF，即点B是

EMF

所在圆的圆心，BE是⊙B的半径，
∴AE是

EMF

所在圆的切线．
故③正确；

④设圆的半径为r，则MN=

1

2

r，EN=

3

2

r，
∴EF=2EN=

3

r，AN=r+

1

2

r=

3

2

r，
∴S_△AEF：S_圆=（

1

2

×

3

r×

3

2

r）：πr²=3

3

：4，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②③④共4个．
故选：D．