在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b2=a

Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．（1）求角B的大小；（2）若b2=ac，判断△ABC的形状；（3）求证：b?sin(C?π6)(2c?a)?cosB为定值．

Answer 1

（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又B为三角形的内角，
则B=

π

3

；
（2）∵b²=ac，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：ac=a²+c²-ac，
即（a-c）²=0，
∴a=c，又B=

π

3

，
则△ABC为等边三角形；
（3）∵C=π-（A+B），B=

π

3

，
∴sin（C-

π

6

）=sin[π-（A+

π

3

）-

π

6

]=sin（

π

2

-A）=cosA，sinC=sin（A+B），
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简得：

b?sin(C? π 6 )

(2c?a)?cosB

=

sinB?sin(C? π 6 )

(2sinC?sinA)?cosB

=

3 2 cosA

sin(A+ π 3 )?  1 2 sinA

=

3 2 cosA

1 2 sinA+ 3 2 cosA? 1 2 sinA

=1，
则

b?sin(C? π 6 )

(2c?a)?cosB

为定值．