正方体ABCD-A`B`C`D`中,点E在AB`上,点F在BD上,且B`E=BF。求证:EF//平面BB1C1C.
过点E作EG⊥BB'于G,过点F做FH⊥BC于H。
因为,∠AB'B = ∠DBC = 45° ,且 B'E = BF ,
所以,EG = B'E·sin45° = BF·sin45° = FH 。
因为,BC⊥平面ABB'A ,
所以,BC⊥EG ;
而且,EG⊥BB' ,
所以,EG⊥平面BB'C'C ;
同理可得:FH⊥平面BB'C'C ;
即有:EG和FH分别是点E和点F到平面BB'C'C的距离。
因为,点E和点F到平面BB'C'C的距离相等,且两点在平面的同一侧,
所以,EF∥平面BB'C'C 。