求复合函数的一阶导数

Question

函数如图所示，求复合函数的一阶导数

Answer 1

复合函数的一阶导数可以通过链式法则来求解。链式法则告诉我们，如果一个函数是由另一个函数复合而成的，那么它的导数可以通过对内部函数和外部函数分别求导，并将它们相乘来得到。
假设我们有一个复合函数 f(g(x))，其中 f 和 g 都是可导函数。根据链式法则，复合函数 f(g(x)) 的一阶导数可以通过以下公式计算：
(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)
其中，f'(g(x)) 表示函数 f 在 g(x) 处的导数，g'(x) 表示函数 g 在 x 处的导数。
为了具体说明，我们可以考虑一个简单的例子。假设 f(x) = sin(x) 和 g(x) = x^2，那么复合函数 f(g(x)) = sin(x^2)。根据链式法则，它的一阶导数可以通过以下步骤计算：
1. 首先，计算内部函数 g(x) = x^2 的导数 g'(x)。由于 g(x) 是一个多项式函数，它的导数可以通过求导公式得到：g'(x) = 2x。
2. 接着，计算外部函数 f(x) = sin(x) 在 g(x) = x^2 处的导数 f'(g(x))。由于 f(x) 是一个三角函数，它的导数可以通过求导公式得到：f'(x) = cos(x)。因此，f'(g(x)) = cos(x^2)。
3. 最后，将内部函数的导数 g'(x) 和外部函数的导数 f'(g(x)) 相乘，得到复合函数 f(g(x)) = sin(x^2) 的一阶导数：(f(g(x)))' = cos(x^2) * 2x = 2x * cos(x^2)。
这就是复合函数一阶导数的求解过程。需要注意的是，链式法则适用于任何复合函数的求导，不仅仅是这个例子。在实际应用中，我们只需要根据链式法则的公式，对内部函数和外部函数分别求导，并将它们相乘，就可以得到复合函数的一阶导数。

Answer 2

这道题目不要纠结于采用复合函数的求导法则，因为那样计算反而复杂，直接将函数U、V的表达式代入，这样计算更为简单。

Z=U²+V²=（x+y）²+（x-y）²=x²+2xy+y²+ x²-2xy+y²=2x²+2y²。

所以：