正弦函数 \sin x 的导数是余弦函数 \cos x 的原理可以通过微积分中的导数定义来理解。这里简要概述其背后的数学原理: 1. 导数的定义:导数本质上描述了函数在某一点的瞬时变化率。对于函数 f(x),其在 x 处的导数定义为: f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} 2. 应用到正弦函数:将 f(x) = \sin x 代入上述定义,我们得到正弦函数在 x 处的导数表达式: \frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin(x+h) - \sin x}{h} 3. 正弦加法公式:利用正弦的加法公式 \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b,将 a = x 和 b = h 代入,我们得到: \sin(x+h) = \sin x \cos h + \cos x \sin h 4. 代入导数表达式:将 \sin(x+h) 的表达式代入导数的定义中,我们得到: \frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h - \sin x}{h} 5. 简化表达式:将 \sin x \cos h 与 -\sin x 合并,我们得到: \frac{d}{dx}(\sin x) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} 6. 求极限:由于 \sin h / h 当 h 趋近于 0 时的极限是 1(这是正弦函数在 h = 0 处的泰勒展开的首项),我们可以得到: \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = \cos x \cdot 1 = \cos x 正弦函数 \sin x 的导数是 \cos x。这个结果表明,正弦函数的斜率在任何给定点 x 上都等于该点的余弦函数值,这是正弦和余弦函数之间基本的微积分关系。