初中八下期末试卷，最后一题，（动点问题）

Question

（1）如图(一),点E是正方形BC边上的一个动点,AM平分∠BAE,AN平分∠DAE,AM,AN分别交BC,C
1、如图1，∠MAN＝＿＿＿度。
2、如图2，当点E运动到点C时，判断AE与MN的位置关系并说明理由；
3、如图3，在点E运动的过程中，2中AE与MN的位置关系是否依然成立，若成立请证明。

（2）如图（二），平面直角坐标系内一点A（2，2），点M，M分别是y轴正半轴和x轴正半轴上的动点，∠MAN＝45º，AH⊥MN，垂足为点H，试判断在点M，N运动的过程中，AH的长度是否发生改变，若不变请求出AH的长；若改变，请求出变化范围。

Answer 1

解：（1）∠MAN=∠MAE+∠EAN =1/2（∠BAE+∠EAD）=1/2∠BAD=45°；

（2）AE垂直平分MN。易证△BAM≌△DAN，可得AM=AN，于是AE就是等腰三角形MAN顶角的角平线，也就是底边的中垂线。

（3）AE⊥MN。理由是：

延长CB至F，BF=DN，连结AF。

先证△ABF≌△AND，得AN=AF，∠BAF=∠DAN；于是有∠MAF=∠MAN=45°；

再证△MAF≌△MAN，得∠AMF=∠AMN；

最后证△MAB≌△MAH，得∠AHM=∠ABM=90°；

2、

不变，AH=2；

作AB⊥Y轴，垂足为B，作AC⊥X轴，重足为C。则四边形OCAB为正方形。

根据前面的结论，可得AH=AC=2。