大学概率期末考试题

Question

设有n名参加新年联欢会，大会规则要求每人自带一份礼物作为互赠礼品，并将这些礼物集中编号，入场时每人随机抽取一个号码去领取互赠礼品，求：恰好拿到自己准备的礼品人数的数学期望与方差.
谢谢！
（上次问过一次，但没有得到正确的答案，因此重新提问。）

Answer 1

我是这么想的,这就好像是一个编程问题,把你拿到自己的礼物记作T把你没拿到记作F然后把T记作1,F记作0,就像是电脑计数的方法一样

有n个人,那么自然有1/n概率拿到你的礼品

那么数学期望E[X]就是 E[X]=1*1/n=1/n

方差是

∑（X-E[X])^2其中有n-1项X=0 有1项X=1

所以方差等于 (n-1)(1/n)^2+(1-1/n)

我这样想不知道对不对,或者这个应该复合某种分布,好像是nagative binomial distribution不记得了,得查查

我对这个题目还挺有兴趣的,希望你能回复我.记得给我Hi留言.

Answer 2

汗，这个题貌似是我以前的期末考试最后一题。。当时花了些时间做出来，现在没时间，等有时间了再说。。

Answer 3

回答：

设Xi (i=1, 2, ..., n)表示第i个人拿到礼品的状态。Xi＝1表示拿到自己的；Xi＝0表示没有拿到自己的。

显然，P(Xi=1) = 1/n，P(Xi=0) = 1-(1/n) = (n-1)/n。于是，恰好拿到自己礼品的人数的期望值是

E(Xi) = 1 x (1/n) + 0 x (n-1)/n = 1/n。

方差D(Xi) = E(Xi^2) - [E(Xi)]^2。本题中，Xi^2 = Xi E(Xi^2) = E(Xi) = 1/n。所以，

D(Xi) = E(Xi^2) - [E(Xi)]^2
= (1/n) - (1/n)^2
= (n-1)/n^2。