初中代数，方程增根，方程同解原理，老师进

Question

如题，加我百度Hi ，教我。什么事增加和同解原理

Answer 1

1.首先增根是数学名词。
是指在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根；在解无理方程中，根号内的值大于等于0，若无理方程的根使根号内为负数，（根使有理方程成立，而在无理方程中根号内 小于0）那么这个根叫做原无理方程的增根；
2.对于分母的值为零时，这个分数无意义，所以不允许分母为0，即本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
3.设方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 变形得来的,如果这两个方程的根完全相同(包括重数),那么称这两个方程等价.如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;
4.解分式方程时出现增根，往往是由于违反了方程的同解原理（如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 又称“等值方程”、“等价方程”。如第三条所说。）或对方程变形时粗心大意造成的。
5.增根的产生，归根结底都是因为思维的不全面产生的。解题时要保证步步变形的等价性，这种等价性要通过等式和不等式去约束出来，特别是不等式，容易被忽略。如果不得已必须用不等价变形来解题，那么最后千万别忘记通过检验来去掉增根，这种检验也要注意全面性。

Answer 2

定义
增根（extraneous root ），在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。
[编辑本段]产生增根的来源
对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
（1）分式方程
（2）无理方程
（3）非函数方程
[编辑本段]分式方程增根介绍
在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，那么这个根叫做原分式方程的
X-2 16 X+2
—— - —— = ——
X+2 X^2-4 X-2
解: (X-2)^2-16=(X+2)^2
X^2-4X+4-16=X^2+4X+4
X^2-4X-X^2-4X=4+16-4
-8X=16
X=-2
但是X=-2使X+2和X^2-4等于0,所以X=-2是增根
分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分时方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。
例如: 设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.
[编辑本段]非函数方程增根介绍
在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。
如：椭圆与抛物线
椭圆(X^2)/4+(Y^2)/3=1和抛物线Y^2=2PX（P>0)联立方程式得
3X^2+8PX-12=0
由韦达定理X+X’<0且XX’<0。由图像知两交点在1.4象限，故出现X<0的增根。
出现原因是忽略了Y^²=2PX中的隐含定义域X>0。联立方程式求解误认为X∈R
[编辑本段]无理数方程增根介绍
√ （2X^2-X-12）=X
解：两边平方得2X^2-X-12=X^2
得X^2-X-12=0
得X=4或X=-3(增根）
出现增根的原因是由于两边平方忽略了上式的X＞0且根号内的值大于等于0.由于同样的粗心，错误还会在无理不等式中体现
[编辑本段]如何求增根
解分式方程时什么根，往往是由于违反了方程的同解原理或对方程变形时粗心大意造成的。
1. 如果不遵从同解原理，即使解整式方程也可能出现增根．例如将方程x－2=0的两边都乘x，变形成x（x－2）=0，方程两边所乘的最简公分母，看其是否为0，是0即为增根。

参考资料：http://baike.baidu.com/view/793528.htm?fr=ala0_1_1

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