初中数学题

Question

甲乙两人参加折返跑比赛，同时从起点出发，到达距起点100m处的终点后立即返回起点，期间保持匀速运动，甲先抵达终点。设比赛时间为x(s)时，甲乙两人之间的距离为y(m)。他们从出发到第一次相遇期间y与x之间的关系如图所示。根据图像提供的信息，回答下列问题
（1）求甲乙两人速度
（2）求出线段AB所表示y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（3）从出发到第一次相遇，当x为何值时，两人相距5米

Answer 1

(1)设：甲的速度为v1，乙的速度为v2
（分析：甲先到达终点然后再折返。在这个过程中，当甲到达终点时，甲乙之间的距离达到最大值，由图可知，此时两人间的距离为20米。然后甲开始折返向回跑，此时，甲乙之间的距离在不断缩小，直至两人相遇，由图可知，相遇时两人所用时间为40/3秒。列式由来：（1）当甲到达终点时，甲乙相距20米。所以甲所跑的路程为全程100米，而已所跑的路程为全程减去与甲相差的距离，即100-20=80米。这时甲乙所用的时间是相同的，以此为等量计算。（2）甲到达终点折返，直至与已相遇，这时两人用时40/3秒。此时甲所跑的路程加上已所跑的路程等于全程的两倍。以此为等量计算。）
由题意得
100/v1=80/v2
（v1+v2）*（40/3）=200
解得，v1=25/3；v2=20/3

（2）甲到达终点时，所用时间=100/v1=100/（25/3）=12s
即图像中，A点的横坐标为12
由图可知，A点的纵坐标为20
所以，A点坐标为（12,20）
由图像可知，AB段x，y满足一次函数关系，且图像过点A(12,20)和点B（40/3,0）
设：x，y满足解析式y=kx+b
将A(12,20)和B（40/3,0）代入，得
12k+b=20
(40/3)k+b=0
解得，k=-15；b=200
即AB段x，y满足解析式y=-15x+200（12<=x<=40/3）

(3)函数y表示甲乙两人相距的距离，x表示甲乙所用时间
所以，想求何时，两人相距5米，即让y=5，去求取x的值即可
（分析：不过要考虑到，甲乙相距5米的情况有两种。一种是，甲乙从起点出发，由于甲的速度快，两人之间的距离会拉大，在某一时刻，两人相距为5米。第二种是，在第一种情况下，甲乙继续跑这时甲乙之间的距离会持续增大，直至甲到达终点，此时两人距离达到最大，即前面所说的20米。然后，甲开始折返，这时甲乙之间的距离随着时间的增加在减小，直至在某一时刻，两人之间的距离从20米缩小至5米。）
由题意得，
第一种情况：
由图像可知，OA段x，y满足一次函数关系，且图像过点O（0,0）和点A(12,20)
设：x，y满足解析式y=k1x+b1
将O(0,0)和A（12,20）代入，得
b1=0
12k1+b1=20
解得，k1=5/3；b1=0
即x，y满足解析式y=(5/3)x（0<=x<12）
当y=5时，(5/3)x=5
解得，x=3
第二种情况：
AB段x，y满足解析式y=-15x+200（12<=x<=40/3）
当y=5时，-15x+200=5
解得，x=13
即当x为3或13时，两人相距5米