答：这个矩形最多可以剪出13个边长为20.51厘米的正方形。
首先，我们可以计算出这个矩形的面积：78厘米 × 52厘米 = 4056平方厘米。然后，我们可以设正方形的边长为x厘米，那么每个正方形的面积为x × x = x²平方厘米。假设一共剪出了n个正方形，则这n个正方形的面积之和为nx²平方厘米。
根据题目要求，剪出的正方形不能超出原矩形的范围。因此，我们可以列出以下不等式：
x ≤ 52 （正方形的边长不能超过矩形的宽度）
x ≤ 78 （正方形的边长不能超过矩形的长度）
nx² ≤ 4056 （n个正方形的面积之和不能超过矩形的面积）
现在的问题是，如何求解n和x的最大值？我们可以将不等式3变形，得到：
x² ≤ 4056/n
由于x²是单调递增的，我们可以取等号，得到：
x² = 4056/n
现在，我们需要找到使得不等式1和不等式2都成立的最大的x。由于x² = 4056/n，我们可以将其代入不等式1和不等式2中，得到：
4056/n ≤ 52²
4056/n ≤ 78²
我们可以将这两个不等式合并，得到：
4056/n ≤ min(52², 78²)
解出n的最大值，得到：
n ≤ 4056/min(52², 78²)
现在我们知道了n的最大值，可以将其代入x² = 4056/n中，得到x的最大值：
x² = 4056/n ≤ min(52², 78²)
因此，正方形的边长最长可以达到min(52², 78²)/sqrt(4056) ≈ 20.51厘米。而最多可以剪出的正方形数量为floor(4056/min(52², 78²)) = 13个。
因此，这个矩形最多可以剪出13个边长为20.51厘米的正方形。