1
、甲、乙、丙都在读同一本书，书中有
100
个故事。每个人都按照顺序从某一
个故事开始往后读。已知甲读了
75
个故事，乙读了
60
个故事，丙读了
52
个故
事。那么甲、乙、丙都读过的故事至少有多少个？
首先我们可以先看其中两个人，
比如甲、
乙，
为了保证两人都读过的尽量少，
那
么首先两人尽量读的不一样，
那么两人都读过的至少有
75+60-100=35
个，
那么
丙还有读
52
个故事，首先他读的尽量不和这
35
个故事相同，但是又要连在一
起，所以他读的尽量和甲读的相同，所以至少有
52-
（
75-35
）
=12
个是都读过
的故事。
2
、我国有
"
三山五岳
"
之说，其中五岳是指：东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、
北岳恒山和中岳嵩山，一位老师拿着这五座山岳的图片，并在图片上标出数字，
他让五位学生来辨别，
每人说出两个，
学生回答如下：
甲：
2
是嵩山，
3
是华山，
乙：
4
是衡山，
2
是嵩山，
丙：
1
是衡山，
5
是恒山，
丁：
4
是恒山，
3
是嵩
山，
戊：
2
是华山，
5
是泰山。
老师发现五个学生都只是说对了一半，那么正确的说法应该是什么呢？
解答：
假设甲的前半句正确，后半句错误，则
2
是泰山，
3
不是华山；因为每人都说
对了半句，
错了半句，
因此可以推出戊说的前半句错误，
后半句正确，
即
2
不是
华山，
5
是泰山。这就与甲说的
"2
是泰山
"
产生矛盾，所以假设错误。
因此我们可以知道，
甲说的前半句错误，
后半句正确，
即
3
是华山；
由戊说的
可知，
2
不是华山，
5
是泰山；由丙说的可知，
5
不是泰山，
1
是衡山；由乙所
说的可知，
4
不是衡山，
2
是嵩山；由丁所说的可知，
3
不是嵩山，
4
是恒山，
所以正确的说法是：
1
是衡山，
2
是嵩山，
3
是华山，
4
是衡山，
5
是泰山。
3
、证明
+ + + +…+
在
与
之间。
分析】
×
10=
＜
+ + + +…+
＜
×
10=
×
11=
＜
+ +…
+
＜
×
11=
4
、六位数
是
6
的倍数，这样的六位数有多少个？
解
因为
6
＝
2×
3
，且
2
与
3
互质，所以这个整数既能被
2
整除又能被
3
整除。
由六位数能被
2
整除，推知
A
可取
0
，
2
，
4
，
6
，
8
这五个值。再由六位数能被
3
整除，推知
3
＋
A
＋
B
＋
A
＋
B
＋
A
＝
3
＋
3A
＋
2B
能被
3
整除，故
2B
能被
3
整除。
B
可取
0
，
3
，
6
，
9
这
4
个值。由于
B
可以取
4
个值，
A
可以取
5
个值，题目没有要求
A≠B
，所以符合条件的六位数共有
5×
4
＝
20
（个）。
5
、从
0
，
2
，
3
，
6
，
7
这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被
8
整除的
没有重复数字的四位数？
【分析】
16
个。
提示：6320，3720，2360，2760，6032，3072，2736，7632， 7320，6720，7360，3760，7032，6072，2376，3672。
6、从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一个智者遇到这三个和尚，他问第一位和尚："你后面是哪位和尚？"和 尚回答："讲真话的。"他又问第二个和尚："你是哪一位？"得到的回答："有时讲真话，有时讲假话。"他问第三位和尚："你前面的是哪位和尚？"第三位和 尚回答说："讲假话的。"根据他们的回答，智者马上分清了他们各是哪一位和尚，请你说出智者的答案。
解答：假设第一位和尚回答的是真话，即第二位和尚是"讲真话的"和尚，但第二位和尚却说自己是"有时讲真话，有时讲假话"，这就引出了矛盾。所以第一位和尚回答的不是真话，即第二位和尚不是讲真话的和尚，当然他自己也不会是"讲真话的和尚"，故只能是第三位和尚是讲真话的和尚。所 以第三位和尚回答的是真话，即第二位和尚是"讲假话的"，由此可知，第一位和尚是有时讲真话，有时讲假话。
7、姐妹俩今年的年龄和是40岁，当姐姐像妹妹现在这样大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半．则姐姐今年多少岁．
姐妹俩的年龄分别是她们年龄差的3倍和2倍，即年龄比为3∶2，所
8、在一个圆环形的跑道上，甲、乙两人在同一地点沿相同方向跑时，每隔16分相遇一次，如果两人速度不变，两人在同一地点沿相反方向跑时，每隔8分相遇一次，则甲乙跑完一圈各需要多长时间？
假设路程为1份 ，甲乙的速度差为 ，甲乙的速度和为 ，快得的速度是 ，慢的速度是 ，跑完一圈各需要 分钟， 分钟
9、一只小船在静水中速度为每小时25千米，在210千米的河流中顺水而行时用了6小时，则返回原处需用多少小时．
水速：（210÷6）-25=10（千米/时）
返回原处所需要的时间：210÷（25-10）=14（小时）． 10、46305乘以一个自然数a，乘积是一个整数的平方。求最小的a和这个整数。 a=3×5×7=105；46305×105=22052。
提示：完全平方数的所有质因数都是偶数次方。
11、如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分， ， ， ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
连接 ． ∵ ， ∴ ， 又∵ ，
∴ ，∴ ， ．
12、妈妈以每分钟 米的速度从家步行到单位上班， 分钟后，小华跑步从家追赶妈妈
结果在距家 米的地方追上妈妈。小华每分钟跑多少米？
分钟妈妈走了 （米），在小华追上妈妈的过程中，妈妈又走了 （米），妈妈走这一段的时间是： （分钟），即是小华追上妈妈的时间。又知道小华跑的路程是 米，然后根据速度＝路程÷时间，就可以求出小华每分钟跑多少米，即：小华的速度： （米
13、幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么不管怎样挑选，在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同，试说明道理.
【解】从三种玩具中挑选两件，搭配方式只能是下面六种：（兔、兔），（兔、熊猫），（兔、长颈鹿），（熊猫、熊猫），（熊猫、长颈鹿），（长颈鹿、长颈鹿）。把每种搭配方式看作一个抽屉，把7个小朋友看作物体，那么根据原理1，至少有两个物体要放进同一个抽屉里，也就是说，至少两人挑选玩具采用同一搭配方式，选的玩具相同
14、99张卡片上分别写着1～99．甲先从中抽走一张，然后乙再从中抽走一张，如此轮 下去．若最后的两张上的数是互质数，则甲胜；若最后剩下的两个数不是互质数，则乙胜．
问甲要想获胜应该怎样抽取卡片？
甲抽99，把剩下的数两两分组为（1，2）（3，4）…（97，98），无论乙抽何数，甲都抽同组中的另一个数．这样最后将剩下同一组中的两个数，这两数相邻必互质，甲胜.
15、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。 假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3——1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有 100－80＝20（人）。
同样，也可以假设100人都是小和尚，同学们不妨自己试试。 在下面的例题中，我们只给出一种假设方法。 16、
解答: 原式 ( )
17、如图，三角形 的面积是 ， 在 上，点 在 上，且 , ， 与 交于点 ．则四边形 的面积等于多少．
份。 所以
18、 ， ， 为 个小于 的质数， ，求这三个质数.
解答：因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是 ，另两个奇质数之和为 ，又因为这三个数都要小于 ，所以只能为 和 ，所以这三个质数分别是 ， ， .
19、6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？
解答：第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候； 第6个人接水时，只有他1个人等候．可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是 (分)．
20、有一个长方体容器，长30厘米，宽20厘米，高10厘米，里面的水深6厘米（最大面为底面），如果把这个容器盖紧（不漏水），再朝左竖起来（最小面为底面），里面的水深是多少厘米？
解答:V=30×20×6=3600(立方厘米) h=3600÷(20×10)=18(厘米)
21、四位同学进行了一次乒乓球单打比赛，当比赛进行了若干场后，体育老师问他们分别比赛了多少场。这四位同学回答分别比了1、2、3、3场，老师说：“你们肯定有人记错了。”请问：老师是怎么知道的呢？（提示：从奇偶性来考虑） 每比赛一场四个人比赛的场次之和就增加两场，所以，四个人的比赛场数之和一定是偶数，但是在这次对话中，这四位同学回答分别比了1、2、3、3场一共9场这是不可能的。
22、甲乙二人同时从A地去B地，前3小时，甲因修车1小时，因此，乙领先于甲4千米。又经过3小时，甲反而领先了乙17千米，求二人的速度。 解答：后3小时，甲比乙多行了：4+17=21千米 每小时，甲比乙多行：21÷3=7千米
前3小时，如果甲不修车，能比乙多行21千米 甲修车1小时，比乙落后4千米
说明甲修车这1小时，少走了21+4=25千米 甲速度为每小时25千米
乙速度为每小时：25-7=18千米
解答：连接 ，
根据燕尾定理， ， , 设 份，则 份, 份， 份
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