直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2这个公式是怎样推导出来的？

Question

如题所述

Answer 1

直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2推导如下：
设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F,连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
扩展资料：
在直角三角形的内切圆中，有这样两个简便公式：两直角边相加的和减去斜边后除以2，得数是内切圆的半径。两直角边乘积除以直角三角形周长，得数是内切圆的半径。
r=(a+b-c)/2（注：r是Rt△内切圆的半径，a,
b是Rt△的2个直角边，c是斜边），r=ab/
(a+b+c)。
若以三角形的内切圆为反演圆进行反演，则三角形的三条边和外接圆会分别变为半径相等的四个圆（半径都等于内切圆半径的一半）。
参考资料来源：百度百科-三角形的内切圆

Answer 2

1.先做一个直角三角形，设三边长为a，b，c，内切圆半径为r。2.由三角形面积S=ab/2，又由S=（a+b+c）*r/23.ab=（a+b+c）*r以及直角三角形a??+b??=c??推得2ab=（a+b）??
-
c??可得ab=（a+b+c）（a-b-c）4.约去相同的（a+b+c）就可以得到r=(a+b-c)/2了.

Answer 3

1.先做一个直角三角形，设三边长为a，b，c，内切圆半径为r。
2.由三角形面积s=ab/2，又由s=（a+b+c）*r/2
3.ab=（a+b+c）*r以及直角三角形a²+b²=c²推得2ab=（a+b）²
-
c²可得ab=（a+b+c）（a-b-c）
4.约去相同的（a+b+c）就可以得到r=(a+b-c)/2了.

Answer 4

解：
设Rt△ABC中，∠C＝90度，BC＝a，AC＝b，AB＝c
结论是：内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
证明方法一般有两种：
方法一：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r，
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
方法二：
如图设内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F，连接OD、OE、OF，OA、OB、OC
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OF⊥AB
所以S△ABC＝S△OAC＋S△OBC＋S△OAB
所以ab/2＝br/2＋ar/2＋cr/2
所以r＝ab/(a＋b＋c)
＝ab(a＋b－c)/(a＋b＋c)(a＋b－c)
＝ab(a＋b－c)/[(a＋b)^2－c^2]
因为a^2＋b^2＝c^2
所以内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c