初中数学难题系列7(不定方程整数根）

Question

1.求下列方程的整数解
（1）2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0
（2）x^4-y^4-20x^2+28y^2=107

2.求证：方程5m^2-6mn+7n^2=1993无整数解

3.设有红黄蓝三种颜色的玻璃片,分别有x,y,z块，且x,y,z被3除的余数分别为0,1,2,若进行如下的一次操作，把两块颜色不同的玻璃片的颜色擦去，再涂上第三种颜色，问是否可以通过有限次操作，使得每块玻璃片都涂上同一种颜色？请证明你的结论。

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Answer 1

第一题：
(1) 2x^2-5xy+2y^2+x-2y-6=0 => (x-2y)(2x-y+1)=6
因为x、y都是整数，所以x-2y、2x-y+1也是整数。而6的整数乘积分解只能是(-6)×(-1)、(-1)×(-6)、(-3)×(-2)、(-2)×(-3)、1×6、6×1、2×3、3×2这8种可能
联立解方程，舍去非整数解，得如下4组解：x=-1，y=1；x=-2，y=0；x=3，y=1；x=-2，y=-4
(2) x^4-y^4-20x^2+28y^2=107 => (x^2+y^2-24)(x^2-y^2+4)=11
因为x、y都是整数，所以x^2+y^2-24、x^2-y^2+4也是整数。而11的整数乘积分解只能是(-11)×(-1)、(-1)×(-11)、1×11，11×1这4种可能
联立解方程，舍去非整数解，得如下8组解：x=-2，y=-3；x=-2，y=3；x=2，y=-3；x=2，y=3；x=-4，y=-3；x=-4，y=3；x=4，y=-3；x=4，y=3

第二题：
先使用余数分析的方法确定m可能的取值
1) 首先m不能是偶数。因为如果m是偶数，那么(5m^2) mod 4=0（mod 4表示除以4的余数），(-6mn) mod 4=0，1993 mod 4=1，于是(7n^2) mod 4=1，这样n是奇数，而如果n是奇数，(7n^2) mod 4=3，矛盾
2) 其次m必然能整除3。假设m不能整除3，那么m=3x+1或者m=3x+2，无论是那种情况，都有(5m^2) mod 3=2，(-6mn) mod 3=0，1993 mod 3=1，于是(7n^2) mod 3=2，这样n不能整除3，无论是n=3y+1还是n=3y+2，(7n^2) mod 3=1，矛盾
3) 根据1)和2)的结论，可知m=6x+3
其次枚举证明没有整数解
4) 将5m^2-6mn+7n^2=1993看作n的二次方程，解得n=[3m+√(13951-26m^2)]/7或者n=[3m-√(13951-26m^2)]/7。由于13951-26m^2>=0可知|m|<=23，因为正负是对称的，我们考察m=3、9、15、21，看看能否使得(13951-26m^2)是平方数，检验证明它们都不是，因此原方程不存在整数解

第三题：
这个题目其实很简单。我们考察红黄蓝玻璃片块数对3的余数，初始状态是<0，1，2>，任何一次操作，都是把其中两个余数减1（当余数是0时减1为2），另外一个余数加2。注意余数加2等于余数减1，因此任何一次操作，相当于把3个余数同时减1，因此状态转换只能是：
<0，1，2> -> <2，0，1> -> <1，2，0> -> <0，1，2>，至此循环，不存在有两个余数同时为0的情况，而每块玻璃片都涂上同一种颜色就意味着有两个余数为0，所以这是不可能的

Answer 2

因为当n是奇数时-5^n≡7(mod12)，当n是偶数时-5^n≡11(mod12)，所以|12^m-5^n|=7必须n是奇数，而且只能得到12^m-5^n=7。
容易证明当n=1时，只有m=1才能使方程成立；当m=1时，只有n=1才能使方程成立。
当m>1，n>1时，设n=2t+1，其中t是正整数，那么12^m-5^n=7变为
12(12^(m-1)-1)=5(5^t+1)(5^t-1)=5×6×4(5^(t-1)-5^(t-2)+…+(-1)^t)(5^(t-1)+5^(t-2)+…+1)，
所以
(12^(m-1)-1)/10=(5^(t-1)-5^(t-2)+…+(-1)^t)(5^(t-1)+5^(t-2)+…+1)，
因为12^(m-1)-1必然是奇数，10不能整除12^(m-1)-1，所以此时方程不能成立。
综合得到，只有m=n=1时方程才成立。

分情况
1]取余数为0和1的：……
[2]取余数为0和2的：……
[3]取余数为1和2的：……