正弦函数sin(θ)在角度为45度时的值可以通过多种方法推导。以下是一些常见的推导方法：
直角三角形法：
在直角坐标系中，考虑一个边长为1的等腰直角三角形。两个锐角均为45度。根据勾股定理，斜边的长度为√2。由于正弦函数定义为对边与斜边的比值，所以对于45度角，其正弦值为对边长度除以斜边长度，即sin(45°) = 1/√2。为了得到一个有理数结果，我们可以乘以√2/√2，得到sin(45°) = (√2/2)。
单位圆法：
单位圆是一个半径为1的圆，其圆心位于原点。在单位圆上，任何一点的坐标可以表示为(cos(θ), sin(θ))。当θ=45°时，我们可以通过几何关系找到对应的点的坐标。由于45°对应的是圆的第一象限，其中余弦和正弦值相等，因此sin(45°) = cos(45°)。而第一象限45°对应的是(√2/2, √2/2)，所以sin(45°) = √2/2。
特殊角度的半角公式：
半角公式可以用来计算特定角度的一半的三角函数值。虽然这个方法通常用于计算更小的角度，但也可以通过将90度（或π/2弧度）减半来使用。然而，这种方法不如前两种方法直接，因为它需要先知道90度或π/2的正弦值，然后应用半角公式。
三角函数的和差公式：
使用和差公式，我们可以从已知的角度的三角函数值推导出其他角度的值。例如，我们知道sin(90°) = 1，可以使用和差公式来找到sin(45°)。但是，这种方法需要额外的步骤，并且不如直接使用直角三角形或单位圆方法来得简单。
利用恒等变换：
如果我们考虑到sin(θ) = cos(90° - θ)，那么我们可以得出sin(45°) = cos(90° - 45°) = cos(45°)。由于cos(45°)等于√2/2，因此sin(45°)也等于√2/2。
综上所述，最常用的方法是直角三角形法和单位圆法，因为它们直接、简单，并且不需要额外的三角函数知识。通过这些方法，我们可以轻松得出sin(45°) = √2/2的结论。
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