如何判断矩阵是否同解？

Question

如题所述

Answer 1

1. 由A,B 的行向量组等价
(1) A的行向量可由B的行向量线性表示, 则存在m*n矩阵C满足 A = CB
若X1是BX=0的解, 则 BX1 = 0
则有 AX1 = CBX1 = C0 = 0
即 BX=0 的解都是 AX=0 的解
(2) B的行向量可由A的行向量线性表示, 则存在t*n矩阵D满足 B = DA
同理可证 AX=0 的解都是 BX=0 的解.
所以 AX=0 与 BX=0 同解 #

2. 证明: 作矩阵 H = (A; B) [ A,B 上下放置]
则 r(H) ≤ r(A)+r(B) < n.
所以齐次线性方程组 HX = 0 有非零解α.
即有 α≠0 满足 Aα=0=0α, Bα=0=0α.
所以0是 A,B 的共同特征值, α是A,B的属于特征值0的共同特征向量. #

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