如何将一个向量空间V正交化？

Question

如题所述

Answer 1

施密特正交化公式（Schmidt Orthogonalization）是一种将一个线性无关集合转化为一个正交集合的方法。在数学中，给定一个向量空间V及其内积，如果存在一组向量v1, v2, ..., vn，它们两两正交且非零，并且它们的张成空间与V相同，那么这组向量就称为一组正交基。施密特正交化就是通过逐步构造正交基的方法。
具体而言，给定一个线性无关的向量集合v1, v2, ..., vn，施密特正交化的过程如下：
1. 取v1作为新的正交基的第一个向量u1，即u1 = v1。
2. 对于第i个向量vi，依次进行下面的操作：
a. 计算投影向量pi = vi - proj[vi, u1] - proj[vi, u2] - ... - proj[vi, ui-1]，其中proj[a, b]表示向量a在向量b上的投影。
b. 如果pi为零向量，则vi可由u1, u2, ..., ui线性组合得到，因此vi可以忽略。
c. 否则，令ui = pi / ||pi||，即将pi单位化得到新的正交基的第i个向量。
3. 重复步骤2直到处理完所有的向量。
经过施密特正交化后，得到的向量集合u1, u2, ..., un就是原始向量集合v1, v2, ..., vn的正交基。