广义黎曼可积条件

Question

如题所述

Answer 1

有界闭区间上的有界函数黎曼可积当且仅当它的不连续点集合是勒贝格零测集，也当且仅当任意开集的原像是可数个若当可测集的并，还当且仅当除去最多可数个端点以外，任意开区间的原像若当可测。

在数学中我们碰到过许多函数，最常见的是多项式和三角函数。多项式的零点也就是代数方程 ζ(s)=0的根。根据代数基本定理，n次代数方程有n个根，它们可以是实根也可以是复根。因此，多项式函数有两种表示方法。

即当s为大于1的实数时，n 为收敛的无穷级数，欧拉仿照多项式情形把它表示为乘积的情形，这时是无穷乘积，而且也不是零点的形式：

但是，这样的用处不大，黎曼把它开拓到整个复数平面，成为复变量s就包含非常多的信息。正如多项式的情形一样，函数的信息大部分包含在其零点的信息当中。

因此， 的零点就成为大家关心的头等大事。 有两类零点，一类是s=-2，-4，…-2n，…时的实零点，称为平凡零点；一类是复零点。黎曼猜想就是讲，这些复零点的实部都是，也就是所有复零点都在 这条直线（后称为临界线）上。

Answer 2

如果是闭区间 上的黎曼可积函数，那么两个相乘的确是可积的。这一点在一般的书上都有，比如rudin的那本《数学分析原理》上就有。
如果是勒贝格可积（或者说一般测度空间上的积分），也就是我们定义 才算可积，那就不一定了。否则我们就不需要Holder's inequality. 一个简单的例子就是 . 这个时候，我们发现 .
我们一般估计两个函数（勒贝格）积分的方法是
其中 . 这个式子也能直接用来证明黎曼可积的两个函数相乘也是黎曼可积的。因为（闭区间上）黎曼可积的函数一定有界(也一定勒贝格可积)。这里不要和一般的瑕积分（广义积分）相混淆，因此 . 另一方，一个有界函数在闭区间上黎曼可积当且仅当其几乎处处连续。这样，你也可以保证 也是黎曼可积的。
对了，不讨论可积性，可测性是总能保证的。也就是 总是可测的（只要 可测）。思路和证明黎曼可积一样，
然后你注意到加减和二阶乘都不会改变可测（黎曼可积）性，于是可得最终结果。本回答被提问者采纳