如何求隐函数的导函数？

Question

如题所述

Answer 1

例子，由方程x^2+y^2=25 确定的dy/dx
先构造函数F(x,y)=x^2+y^2-25
F分别对x、y 求导，Fx=2x，Fy=2y，
则dy/dx=- Fy/Fx=- 2y/2x=-y/x,
注意有负号

Answer 2

隐函数存在定理1：

设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F（x0，y0）=0；Fy（x0，y0）≠0。

则方程：F(x,y)=0在点（x0，y0）的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足条件y0=f(x0),并有dy/dx=-Fx/Fy，这就是隐函数的求导公式。

隐函数存在定理2

设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0) 的某一邻域内具有连续偏导数，且 F(x0,y0,z0)=0,Fz（x0，y0,z0）≠0。

则方程：F(x,y,z)=0在点 (x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件z0=f(x0,y0),并有αz/αx=-Fx/Fz;αz/αy=-Fy/Fz。