高中数学较难的椭圆问题。

Question

已知椭圆G:x²/a²+y²/b²=1，过椭圆外一点Q做椭圆的两条切线L1、L2，切点分别为A、B。
若∠AQB=α，α为给定的常数，且α∈(0，π)，求Q的轨迹。

Answer 1

设Q(x,y)，直线方程为y=kx+m
代入椭圆方程x^2/a^2+y^2/b^2=1得
x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1
整理得
(b^2+a^2k^2)x^2+2a^2kmx+a^2m^2-a^2b^2=0
注意直线是切线，因此有
△=(2a^2km)^2-4(b^2+a^2k^2)(a^2m^2-a^2b^2)=0
a^2k^2m^2-(b^2+a^2k^2)(m^2-b^2)=0
a^2k^2m^2-b^2m^2-a^2m^2k^2+b^4+a^2b^2k^2=0
因此有
-b^2m^2+b^4+a^2b^2k^2=0
-m^2+b^2+a^2k^2=0
k^2=(b^2-m^2)/a^2
k=±√(b^2-m^2)/a (1)
注意到∠AQB=α

tanα=|k1-k2|/(1+k1k2)
=[2√(b^2-m^2)/a]/[1-(b^2-m^2)/a^2] (2)
由(1)(2)可得k,m
代入就可得Q方程，好象很麻烦

Answer 2

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