设曲面|x|+|y|+|z|=1则曲面积分（x+|y|）ds=

Question

设曲面|x|+|y|+|z|=1则曲面积分（x+|y|）ds=

Answer 1

曲面x^2+y^2+z^2=2(x+y+z)

即(x-1)²＋(y-1)²＋(z-1)²=3

根据轮换对称性,得原式=2/3∫∫(x²＋y²＋z²)dS

=2/3∫∫2(x+y+z)dS

=4/3∫∫(x+y+z)dS（这儿使用的是形心坐标公式）

=4/3×（1+1+1）×4π×（√3）²

=4/3×3×4π×3

=48π

扩展资料

设平面光滑曲线 C 的方程为

 

（不妨设f(x) ≥0）这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面，如图3所示。则旋转曲面的面积公式为：

如果光滑曲线 C 由参数方程：

给出，且 y(t) ≥0，那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的面积为：

Answer 2

r^2=r^2+z^2,∑在yoz平面的投影为矩形：z从0到h，y从-r到r由于ds=√(1+y^2/(r^2-y^2))dydz=r/√(r^2-y^2))dydz由对称性（∑在yoz平面的投影要计算2个）∫∫∑（1/r^2）ds=2r∫(0,h)（1/(r^2+z^2）ds∫(-r,r)1/√(r^2-y^2))dy=2arctan(z/r)|(0,h)arcsin(y/r)|(-r,r)=2πarctan(h/r)

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

追问

为什么关于yoz对称？某一卦限的面积怎么算？这个图像大致是怎样的

追答

弄错了是这样

追问

某一卦限的面积怎么算

追答

是一个正8面体，

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