设f（x）=sinx+∫(x~0)(t-x)f(t)dt,f为连续函数,求f(x)？

Question

求详细过程 尤其是∫（x-0)(t-x)f(t)dt的部分。
谢谢大佬们！

Answer 1

f(x)=sinx+∫(0->x) (t-x).f(t)dt

x=0, => f(0) =0

f(x)

=sinx+∫(0->x) (t-x).f(t)dt

=sinx+∫(0->x) tf(t)dt -x∫(0->x) f(t)dt

f'(x)

=cosx + xf(x) -xf(x) -∫(0->x) f(t)dt

=cosx -∫(0->x) f(t)dt

x=0,     => f'(0) = 1

f''(x)

=-sinx -f(x)

f''(x)+f(x) = -sinx

The aux.equation

p^2 +1=0

p=i or -i

let

yg= Acosx +Bsinx

yp=x(Ccosx +Dsinx)

yp' = x(-Csinx +Dcosx) +(Ccosx +Dsinx)

yp''

= x(-Ccosx -Dsinx) +(-Csinx +Dcosx)+ (-Csinx +Dcosx)

= x(-Ccosx -Dsinx) +2(-Csinx +Dcosx)

yp''+yp = -sinx

x(-Ccosx -Dsinx) +2(-Csinx +Dcosx) +x(Ccosx +Dsinx) =-sinx

2(-Csinx +Dcosx) =-sinx

-2C =-1 and 2D=0

C=1/2 and D=0

通解

f(x) = yg+yp=Acosx +Bsinx + (1/2)xsinx

f(0) =0,   => A=0

f'(x) =Bcosx + (1/2)sinx +(1/2)x.cosx

f'(0) = 1, =>B=1

ie

f(x)  =sinx + (1/2)xsinx

追问

您好，请问∫(0->x) tf(t)dt的导数是xf(x)吗？

追答

对！
d/dx ∫(0->x) tf(t)dt =xf(x)

追问

谢谢您！

Answer 2

f(x)=sinx+∫〈0一>x〉[tf(t)-xf(t)]dt
=sinx+∫〈0，x〉tf(t)dt
-x∫〈0，x〉f(t)dt
f'(x)=cosx+xf(x)-∫〈0，x〉f(t)dt
-xf(x)=cosx-∫〈0，x〉f(t)dt