二次型正定的充分必要条件是什么？

Question

如题所述

Answer 1

正定二次型是指对于任意非零向量x，都有x^TAX > 0，其中A是对称矩阵。如果一个二次型是正定的，那么它的行列式一定大于0。
证明如下：
假设A是一个n阶对称矩阵，且A是正定的。我们要证明det(A) > 0。
根据正定二次型的定义，对于任意非零向量x，都有x^TAX > 0。取x为矩阵A的特征向量，即Ax = λx，其中λ为对应的特征值。将这个特征向量代入正定二次型的定义中，得到x^TAx = x^T(λx) = λ(x^Tx) = λ||x||^2 > 0。
因为x是非零向量，所以||x||^2 = x^Tx > 0。由于上式中λ > 0，所以必须有x^TAx > 0，即λx^Tx > 0。这意味着矩阵A的所有特征值都大于0。
根据线性代数的性质，一个矩阵的特征值等于它的行列式。所以，所有特征值大于0，则矩阵A的行列式det(A) = λ1 * λ2 * ... * λn > 0。
因此，正定二次型能推出行列式大于0。