椭圆绕x轴一周后，立体的表面积为(4/3)π

Question

如题所述

Answer 1

椭圆绕x轴一周后，立体的表面积为(4/3)πab^2，计算方法如下。

方法一：

（1）

设:X=x/a,Y=y/b
S=∫∫dxdy (其中x从-a到a,y从-b到b)
=ab∫∫dXdY (其中X从-1到1,Y从-1到1)
=ab*半径为1的圆的面积
=πab

（2）

设:椭球方程x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1
再设:X=x/a,Y=y/b,Z=z/c
V=∫∫∫dxdydz (其中x从-a到a,y从-b到b,z从-c到c)
=abc∫∫∫dXdYdZ (其中X从-1到1,Y从-1到1,Z从-1到1)
=abc*半径为1的球的体积
=(4/3)πabc
椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,分别绕轴x、y轴旋转的旋转体的体积
分别为:(4/3)πab^2,(4/3)πba^2

方法二：

X²/a²+Y²/b²=1绕X轴旋转所得到的椭球方程
x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1
再设:X=x/a,Y=y/b,Z=z/b
V=∫∫∫dxdydz (其中x从-a到a,y从-b到b,z从-b到b)
=ab^2∫∫∫dXdYdZ (其中X从-1到1,Y从-1到1,Z从-1到1)
=ab^2*半径为1的球的体积
=(4/3)πab^2