求积公式至少有n次代数精度的充要条件

Question

如题所述

Answer 1

关于求积公式至少有n次代数精度的充要条件，如下：

1、关于求积公式

如果求积公式对于一切次数小于和等于n的多项式的积分是准确的，而对次数为n+1的多项式的积分至少有一个是不准确的，则称该求积公式具有n次代数精度，或称该公式是n阶的。在一般情形下，就用代数精度来衡量一个求积公式的精度。

在具体考察一个求积公式的代数精度时，用某求积公式计算被积函数f(x)=x^k的积分，如果在k=0,1,2,...,n时均是是准确的，而在k=n+1时不是准确的，那么就可以确定该求积公式的代数精度是n次而不必再继续考察其对所有的n+1次多项式的积分是否精确成立。

2、关于数值积分

数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。

数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。

构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。但它们的精度较差。

龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式。