一.方差的概念与计算公式
例1 两人的5次测验成绩如下:
X: 50,100,100,60,50 E(X )=72;
Y: 73, 70, 75,72,70 E(Y )=72。
平均成绩相同,但X 不稳定,对
平均值的偏离大。
方差描述
随机变量对于
数学期望的偏离程度。
单个偏离是
消除符号影响
方差即偏离平方的均值,记为D(X ):
直接计算公式分离散型和连续型,具体为:
这里 是一个数。推导另一种计算公式
得到:“方差等于平方的均值减去均值的平方”,即
,
其中
分别为离散型和连续型计算公式。 称为
标准差或均方差,方差描述波动程度。
二.方差的性质
1.设C为常数,则D(C) = 0(常数无波动);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平方提取);
证:
特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差无负值)
3.若X 、Y 相互独立,则
证:记
则
前面两项恰为 D(X )和D(Y ),第三项展开后为
当X、Y 相互独立时,
,
故第三项为零。
特别地
独立前提的逐项求和,可推广到有限项。
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