楼上的解答,都不完全正确。
1、ln|x| + C 中的绝对值符号的意义:
∫dx/x = ln|x| + C
并不要求 x > 0 !
无论 x>0, 还是 x<0, 对函数 y=1/x 积分,积出来的结果都是 lnx 这个形式!
对 x>0 ,积分出来的结果是 lnx + C, lnx 中的 x 是正数;
对 x<0 ,积分出来的结果是 ln(-x) + C,ln(-x) 中的 (-x) 也是正数。
将两种情况合并,不必一会儿x,一会儿(-x),才写成 ln|x| 的统一形式。
并不是如楼上所说,x既不是必然也不是必须大于0,
这是因为x>0时,自然而然地得到lnx;x<0时,自然而然地得到ln(-x)。
写成ln|x|是不愿分成两种情况写出两种答案!!仅此而已!!
对于x<0,只要令x=-y,变更积分区间,就可以证明积分结果为ln(-x)+C
2、平时的积分结果:
平时如果碰到如 ∫(1/sinx)dsinx, ∫(1/cosx)dcosx, ∫(1/lnx)dlnx, ............ 的积分,写成:
∫(1/sinx)dsinx = ln|sinx| + C,
表示: 即使sinx<0,也成立,并不是要求sinx>0。计算时(-sinx)已经自动变成了正值。不可以误导!写成绝对值“||”的形式,是告诉实际结果,而不是人为添加的符号!!!
∫(1/cosx)dcosx = ln|cosx| + C, 理由同上;
∫(1/lnx)dlnx = ln|lnx| + C, lnx 中的x,没有写成|x|,那是因为题目给的,既然是题目给定的,那x的定义域已经是正了,只有一种情况,没有小于0的情况,将x写成|x|是多此一举,而且改变了原来的题目。
至于lnx写成了|lnx|是因为lnx可能大于0,也可能小于0,无论lnx大于0,还是小于0,都是可以积分的。
当lnx>0时,也就是x>e时,lnlnx 中的 lnx 自然保证是正值;
当lnx<0时,也就是x<e时,ln(-lnx) 中的(-lnx) 自然保证是正值.
两者合二为一,就成了 lnln|x| + C
3、楼主以后遇到类似的情况:
加绝对值是一般是不会出错的,因为一些教师自己本身也不是概念很清楚。特别是刚刚大学毕业,而在大学读书时并不是出类拔萃的年轻教师中,概念不清者大有人在。
事实上,有时是不需要加的,如ln|x²+1|,这是多此一举。
又如,若已知x>0, 写成ln|x|就是篡改了题目,将定义域扩展到了x<0.
不知,这样的解答,楼主满意吗?
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