证明如下：
x^5-5x+1=0
证明：
f(x)=x^5-5x+1
F（0）=1，F(1)=-3，介值定理，有一个根X，使得F（X.）=0
设有X1在（0,1）X1不等于X。
根据罗尔定理，至少存在一个E，E在X.和X1之间，使得F'(E)=0
F‘（E）=5（E^4-1)〈0矛盾
∴为唯一正实根
有界函数判定方法：
设函数f(x)是某一个实数集A上有定义，如果存在正数M
对于一切X∈A都有不等式|f(x)|≤M的则称函数f(x)在A上有界，如果不存在这样定义的正数M则称函数f(x)在A上无界
设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有： ƒ(x)≤M（ƒ(x)≥L）。
则称ƒ在D上有上（下）界的函数，M（L）称为ƒ在D上的一个上（下）界。
根据定义，ƒ在D上有上（下）界，则意味着值域ƒ(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为ƒ在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是ƒ在D上的上（下）界。
根据确界原理，ƒ在定义域上有上（下）确界
。
一个特例是有界数列，其中X是所有自然数所组成的集合N。所以，一个数列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。