正交矩阵的性质

Question

如题所述

Answer 1

正交矩阵是一个方阵，其列向量（或行向量）两两正交且长度为1。下面是正交矩阵的一些性质：

正交矩阵的逆等于其转置：如果矩阵A是正交矩阵，那么它的逆矩阵等于它的转置矩阵，即A^(-1) = A^T。这意味着正交矩阵是可逆的，并且其逆矩阵也是正交矩阵。

行向量和列向量是单位向量且相互正交：正交矩阵的每个行向量和列向量的长度都是1，且彼此正交。即对于正交矩阵A的任意两个行向量A_i和A_j，有A_i * A_j^T = 0（其中^T表示转置），而A_i * A_i^T = 1。



正交矩阵保持向量的长度和角度：如果向量v与正交矩阵A相乘，那么向量的长度保持不变，角度也保持不变。即 ||Av|| = ||v||（其中||v||表示向量v的长度）且 v·w = (Av)·(Aw)，其中·表示点积操作。

行列式为±1：正交矩阵的行列式的绝对值等于1，即|det(A)| = 1。这可以通过直接计算行列式或利用性质1来推导。

正交矩阵的转置也是正交矩阵：如果矩阵A是正交矩阵，那么它的转置矩阵A^T也是正交矩阵。这体现了正交矩阵的对称性和反射性质。

正交矩阵具有许多重要的性质和应用。它们在线性代数、几何学、信号处理和图像处理等领域中起着重要作用。通过保持向量长度和角度，正交矩阵可以用于旋转、镜像和投影等操作，同时保持向量的几何性质。此外，由于其列向量（或行向量）正交，正交矩阵在解决线性方程组、特征值问题和正交变换等方面具有特殊优势。