有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算法。它用各离散点上函数的差商来近似替代该点的偏导数,把要解的边值问题转化为一组相应的差分方程。然后,解出差分方程组(线性代数方程组)在各离散点上的函数值,便得边值问题的数值解。
现以二维等步长差分格式为例,说明有限差分法的原理和方法步骤。
1.区域离散化,作网格剖分
如图1-4-1所示,用平行于坐标轴的两组直线族将地下划分成正方形网格,相邻两坐标线的距离为h,则任一点的x、z坐标为
图1-4-1 二维等步长正方形网络
地电场与电法勘探
每个正方形为一单元,其边长h称为步长,网格的交点称为节点。任一节点的坐标(x,z)可表示为(ih,kh),或简化为(i,k),用阶梯状折线代替原来的曲线段。在边界线以内的节点称为内节点,边界上的节点称为边界节点。
2.微分方程离散化,构组差分方程
某一内节点(i,k)处的电位为U(i,k),由于h很小,可将节点(i,k)四周的电位在节点处展成泰勒级数:
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式中Ux,Uxx,……和Uz,Uzz,……分别表示U对x和z的一阶导数、二阶导数等。将前两个式子相加,并且忽略h的四次项与更高次项,经整理可得:
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同理得:
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将上述Uxx和Uzz代入含源分区均匀岩石中位函数U所满足的微分方程(1-4-16)的第二式,即得二维函数U(x,z)的差分方程:
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对于无源分区均匀介质,位函数U(x,z)所满足的微分方程(1-4-17)的差分方程为
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3.线性方程组的形成与求解
对于边界节点,其相应的差分方程可根据边界条件给出。全部结点所建立差分方程(1-4-18)和(1-4-19)的总和可分别写成以下矩阵形式:
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和
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〔A〕是方程组的系数矩阵,它是与电阻率分布有关的函数;{U}是电位U的列向量,其分量为所有节点上的电位;{F}是常向量。当给定电阻率分布及边界条件后,解线性方程(1-4-20)和(1-4-21),便可求得电位的空间分布。
电位{U}值的计算精度与步长h的大小有很大关系。一般说来,网格划分越细,即h值越小,{U}值与理论值就越接近。但是此时节点数目也急剧增加,因而所需的计算机内存和计算时间也就会增大。解决计算速度与精度这一矛盾的较好方法是采用变步长,即在近区将网格分得密些,远区影响较小可分得稀些。