什么是可逆矩阵？

Question

如题所述

Answer 1

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

例如：

扩展资料

性质：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

证明方法：

逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C，假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O，而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O，由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。得B-C=O，即B=C。