埃及分数
分数，连小学生都知道，例如1/2，3/5。可是你是否知道，还有一种单分子分数，即分子为1，分母为任意数。这种分数叫埃及分数，或者叫单分子分数。
埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国。人们在考察古埃及历史时注意到象阿基米德这样的数学巨匠，居然也研究过埃及分数。本世纪一些最伟大的数学家也研究埃及分数，例如，沃而夫数学奖得主，保罗-欧德斯，他提出了著名的猜想 4/n=1/x+1/y+1/z. 难倒了世界上第一流的数学家。当9个面包要平均分给 10个人的时候，古埃及人不知道每个人可以取得 9/10，而是说每人1/3，1/4，1/5，1/12，1/30。真叫人难以想象，你连9/10都搞不清楚，怎么知道9/10=1/3+1/4+1/5+1/12+1/30。所以几千年来，数学史家一直坚持认为，古埃及人不会使用分数。
1858年，苏格兰考古学家莱登买到了一份古埃及草纸文件，经过鉴定这是繁生于尼罗河泛滥形成的池塘和沼泽地里的草制成的纸，成文年代约在公元前1700年。
那么，古埃及的人们，是怎么算的呢？首先，把 2 个物品分成 4 个 1/2，先给每个人 1 个 1/2，剩下的 1 个1/2 再分成 3 等分，均分结果，每人分到 1/2 加 1/2 的 1/3，也就是 1/2 + 1/6 = 2/3。这份至今保存在大英博物馆的“莱登”草纸，用很大的篇幅记载着将真分数分解成单分子分数，这种运算方式，遭到现代数学家们纷纷责难，认为埃及人之所以未能把算术和代数发展到较高水平，其分数运算之繁杂也是原因之一。
埃及金字塔是举世闻名的，表明古埃及人具有高超的建筑技巧和超凡的智力，难道最简单的现代分数也不懂？金子塔所蕴含的难道是一篇粗劣的作品？
现代数学已经发展到十分抽象和复杂的程度，而埃及分数却是这样粗糙，在人们的记忆里早该烟消云散了，然而，它产生的问题直到今天仍然引起人们的重视。
四川大学已故老校长柯召写道：“埃及分数所产生的问题有的已成为至今尚未解决的难题和猜想，他们难住了许多当代数学家”。柯召本人至死都没有能够证明这个猜想。
一个古老的传说是：
老人弥留之际，将家中11匹马分给3个儿子，老大1/2，老二1/4，老三1/6。二分之一是5匹半马，总不能把马杀了吧，正在无奈之际，邻居把自己家的马牵来，老大二分之一，牵走了6匹；老二四分之一，牵走了3匹；老三六分之一，牵走了2匹。一共11匹，分完后，邻居把自己的马牵了回去。即11/12=1/2+1/4+1/6。
奇妙的埃及分数终于调动自己的潜在难度击败了敢于轻视他们的人们。并且给与嘲笑他的人以难堪的回答。
两千多年后的数学家终于发现：2/n=1/[(n+1)/2]+1/[(n+1)n/2]； 1/n=1/(n+1)+1/[n(n+1)]；1=1/2+1/3+1/6。此时才大梦初醒。埃及分数以旺盛的生命力屹立在世界数坛，使三千年后的数学家也自叹弗如。例如，分马问题，能否设计出（n-1)/n=1/x+1/y+1/z .。经过2000多年的努力，终于揭开其中的噢秘：有6种可能，共7种分法。7/8=1/2+1/4+1/8；11/12=1/2+1/4+1/6=1/2+1/3+1/12；17/18=1/2+1/3+1/9；19/20=1/2+1/4+1/5；23/24=1/2+1/3+1/8；41/42=1/2+1/3+1/7。原先人们以为，这样的情况大概有无穷多个，可是，继续追击却一无所获，真是难以预料。黑龙江的关春河发现共有43种情况。这是正确的。
当限定分母为奇数时，把“1”分解为埃及分数，项数限定为9项，共有5组解：
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315。
1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385。
以上5组解是在1976年才找到。限定为11项时，发现了1组解 最小分母是105。若大于105则有很多的解。
1/n型分数还可以表示成为级数分解式：
1/n=1/(n+1)+1/(n+1)^2+1/(n+1)^3+1/(n+1)^4+....+1/(n+1)^k+1/n(n+1)^k.
埃及分数成为不定方程中一颗耀眼的明珠。
埃及分数最著名的猜想是Erods猜想：1950年Erods猜想，对于n〉1的正整数，总有4/n=1/x+1/y+1/z. （1）
其中，x，y，z。都是正整数。
Stralss进一步猜想，当n≥2时，方程的解x，y，z满足x≠y，y≠z，z≠x。x〈y〈z。
1963年柯召，孙奇，张先觉证明了Erods猜想stralss猜想等价。几年后yamanot又把结果发展到10的7次方。以后一些数学家又把结果推向前去，始终未获根本解决。对于4/n=1/x+1/y+1/z，只需要考虑n=p为素数的情况，因为若（1）式成立，则对于任何整数m，m〉1，
4/pm=1/xm+1/ym+1/zm，也成立。
2002年，有人提出一个更强的命题：设x=AB，y=AC，Z=ABCp。（B〈C)
4/P=1/AB+1/AC+1/ABCP (2)
一切奇素数都可以表示为4R+1与4R+3型。对于p=4R+3型，（2）式是显然的，因为这时A=(p+1)/4 ，B=1。C=P+1.。
即：4 /P = { 1/ [(P+1)/4] } + { 1 / [(P+1)(p+1)/4] } + { 1/ [p(p+1)(p+1)/4] } . (3)
例如：4/7=1/2+1/16+1/112
对于p=4R+1 型的素数，把（2)式整理成 ： 4ABC=PC+PB+1 (4)
A = (PC+PB+1)/4BC (5)
在（5）式中，若要 B|(PC+PB+1)，需使得B|(PC+1)，设PC+1=TB；若要C|(PC+PB+1)，需使得C|(PB+1)，设PB+1=SC；对于P=4R+1形，若要4|p(C+B)+1],需C+B=4K-1，对于P=4R+3形，若要4|[P（C+B）+1]，需C+B=4K+1。于是，形成一个二元一次不定方程组：
-PC+TB=1 (6)
SC+(-P)B=1 (7)
例如p=17时，A=3，B=2，C=5，T=43，S=7，k=2 。
4 /17=[1/(2×3)]+[1/(3×5)]+[1/(3×2×5×17 )]
即4/17=1/6+1 /15+1/510.
等价于下面的式子:
（-17）×5+43×2=1
7×5+（-17）×2=1
因为对于二元一次不定方程组，我们有得是办法。根据《代数学辞典》上海教育出版社1985年（376页）：“
方程组:ax+by=c
a'x+b'y=c'
公共解（整数解）x,y的充分必要条件是(ab'-a'b)不等于0，并且 (ab'-a'b) | (bc'-b'c) 和 (ab'-a'b) | (ca'-c'a)。”
我们把（6）（7）式的C与B当成上面的x,y. 在（6）式中，只要（P,T）=1；就有无穷多组B和C整数解;在（7）中，只要（P,S）=1，就有B和C的整数解。根据已知的定理（柯召，孙奇《谈谈不定方程》）13 至17页，联立二元一次不定方程，就知道（6）（7）式必然有公共整数解（用到矩阵，单位模变换等知识）。即ST-P*P≠0，(ST-P*P) | (P+T)； (ST-P*P) | (P+S)。为什么说是必然有解，只要有一个素数有解，其它素数必然有解。在中国象棋中，“马”从起点可以跳到所有的点，那么，马在任何一个点就可以跳到任何点。因为马可以从任何一个点退回的起点。
下面是一些p值的解：
------------------------------------------------------------------------------|
--p---|---A---|---B---|----C-----|------T-----|------S-------|-------K-----|
------------------------------------------------------------------------------|
--5---|--2----|---1----|---2------|-----11-----|----3---------|------1------|
-29--|---2----|---4----|---39----|----283----|----3---------|------11-----|
-37--|---2----|---5----|--62-----|---459-----|----3---------|-------17----|
-53--|---2----|---7----|--124----|---939-----|----3--------|-------33----|
-61--|---2----|---8----|--163----|---1243----|----3--------|-------43----|
-173-|--2----|----22--|--1269---|--9979----|----3--------|------323----|
-----------------------------------------------------------------------------------------
以上是P=4R+1，R为奇数时的解，此时，A=2；S=3。
---------------------------------------------------------------------------------
-17--|--3-----|---2----|-----5------|----43-----|-----7--------|-----2-------|
-41--|--12----|---1----|----6-------|---247----|----7---------|-----2-------|
-41--|--6------|---3----|----4-------|---55-----|-----31-------|-----2-------|
-73--|---10----|---2----|---21------|----767--|-----7---------|-----6-------|
- 97--|---17---|---2----|----5-------|---243---|----39--------|-----2-------|
-113-|--5------|---6----|---97------|--1827---|----7---------|----26-------|
-409-|--59-----|---2---|----13------|--2659---|----63-------|----4--------|
-409-|--22-----|---5---|-----66-----|--5399---|----31-------|-----18-----|
-409-|--11-----|---11--|----60-----|---2231--|----75-------|-----18-----|
---------------------------------------------------------------------------------------
以上是p=4R+1，R是偶数时的解。
41有两组解；409有三组解。就是说4/41=1/（12×1）+1/（12×6）+1/（12×1×6×41）=1/12+1/72+1/2952
4/41=1/（6×3）+1/（6×4）+1/（6×3×4×41）=1/18+1/24+1/2952。
-41×6+247×1=1
7×6+（-41）×1=1
和第二组解；
-41×4+55×3=1
31×4+（-41×3）=1
（2）式是对于所有的p值都有解，但不是全部解。(例如，4/41有7组解，而（2）式只求证4/p=1/AB+1/AC+1/ABCP
的形式解。请注意普遍解与全部解的区别。
在七十年代，人们又提出了5/P的情况，所有的素数P都可以表示成5R+1；5R+2；5R+3；5R+4形。
对于P= 5R+4形，5/（5R+4）=1/（R+1）+1/[（5R+4）（R+1）]
其中任何一个：1/N=1/（N+1）+1/[N（N+1）]。
例如，5/9=1/2+1/18，而1/2=1/3+1/6；或者1/18=1/19+1/（18×19）。
对于P=5R+3形，5/（5R+3）=1/（R+1）+2/[（5R+3）（R+1）]
其中任何一个：2/N=1/[（N+1）/2]+1/[N（N+1）/2]
例如，5/13=1/3+2/39，而2/39=1/[（39+1）/2]+1/[39×（39+1）/2]。
对于P=5R+2形，5/（5R+2）=1/（R+1）+3/[（5R+2）（R+1）]
R必然是奇数，（R+1）必然是偶数。
而：3/[（5R+2）（R+1）]=1/[（5R+2）（R+1）]+1/[（5R+2）（R+1）/2]
例如，5/37=1/8+3/（37×8）；而3/（37×8）=1/（37×8）+1/（37×4）。
对于P=5R+1形，
设5/P=1/AB+1/AC+1/ABCP （8）。
5ABC=PC+PB+1 （9）
A=（PC+PB+1）/5BC （10）。
同样可以整理成（6）（7）式，同样有解。B+C=5K-1形。
下面是一些p=5R+1形的素数的解。
5/11=1/3+1/9+1/99，A=3，B=1，C=3，T=34，S=4；
5/31=1/7+1/56+1/1736，A=7，B=1，C=8，T=248，S=4；
5/41=1/9+1/93+1/11439，A=3，B=3，C=31，T=424，S=4；
5/61=1/14+1/95+1/81130，A=1，B=14，C=95，T=414，S=9；
5/71=1/15+1/267+1/94785，A=3，B=5，C=89，T=1264，S=4；
5/101=1/21+1/531+1/375417，A=3，B=7，C=177，T=2554，S=4；
5/131=1/27+1/885+1/1043415，A=3，B=9，C=295，T=4294，S=4；
方法同4/P一样。请读者自己完成。
为什么（6）（7）式可以必然有解？
两联二元一次不定方程：
a1x+b1y=1
a2x+b2y=1.
有解的充分条件是(a1b2-a2b1)|(a1-a2);(a1b2-a2b1)|(b2-b1).
我们考察一联二元一次不定方程：
ax+by=1.(14)
根据已知定理，只要（a,b)=1,(14)式就有整数x,y的解。并且是有无穷多组解。
例如，5x-2y=1.
x; y
-----------------
1, 2;
3, 7;
5, 12;
7, 17;
9, 22;
11，27；
13，32；
15，37；
17, 42;
19, 47;
...........
换句话说，（14）式中，x与y也互素。这就是联立方程组有公共解的基础。现在我们把a,b与x,y互换，
以上例为例子，5x-2y=1换成5a-2b=1,x=5,y=2.
3x-7y=1
17x-42y=1
形成二联二元一次不定方程。
5x-12y=1
19x-47y=1
7x-17y=1
形成三联二元一次不定方程。
（4）式可以表示成一个素数的式子：
p=(4ABC-1)/(C+B)。例如p=41时，41=（4x6x3x4-1）/（4+3）；41=（5x3x3x31-1）/（31+3）；
41=(6x1x8x47-1)/(8+47)；41=(7x1x7x36-1)/(7+36)；41=(8x6x1x6-1)/(1+6)；41=(9x1x6x19-1)/(6+19)；
41=(10x1x6x13-1)/(6+13)；41=(11x1x4x55-1)/(4+55);；41=(12x4x1x6-1)/(1+6);；41=(13x1x4x15-1)/(4+15)；
41=(14x1x3x124-1)/(3+124).。到n=15就没有了：41= (nABC-1)/(B+C)都有效。
人们于是问：是否一切n<p/3,对于任何一个素数p都有 ：
p=(nABC-1)/(B+C).
有三个未知变量的素数公式，可以求得一切素数：
P=(4ABC-1)/(B+C).(15)。
（15）式对于一切p=4r+1形式的素数都可以。
例如，17.：17=（4x3x2x5-1)/(2+5)。
（15）式对于一切p=4r+3形式的素数，A=(P+1)/4，,B=1,，C=P+1。例如11=（4x3x1x12-1)/(1+12).。
对于合数n=4r+3形式。n＝（4xBXC－1）／（B＋C）．
例如51＝（4x13x664－1）／（13＋664）。B＝（P＋1）／4，C＝n（n＋1）／4＋1．
实际上这个问题还远远没有解决。
.埃及分数，一个曾被人瞧不起的，古老的课题，它隐含了何等丰富的内容，许多新奇的谜等待人们去揭开。