请问这道题的洛朗级数怎么展开？

Question

如题所述

Answer 1

分享解法如下。设f(z)=1/[z(1-z)²]，均应用间接法展开。
(1)，0<丨z丨<1。∵1/(1-z)=∑z^n，两边对z求导，∴1/(1-z)²=∑(n+1)z^n，n=0,1,2,…,∞。∴f(z)=∑(n+2)z^n，其中，n=-1,0,1,2，…，∞；0<丨z丨<1。
(2)，0<丨z-1丨<1。∵1/z=1/[1+(z-1)]=∑[(-(z-1)]^n，∴f(z)=[1/(1-z)²]∑[(-(z-1)]^n=∑[(-1)^n](z-1)^(n-2)，n=0,1,2,…,∞。
∴f(z)=∑[(-1)^n](z-1)^n，其中，n=-2,-1,0,1,2，…，∞；0<丨z-1丨<1。
(3)，1<丨z丨<∞，∴0<1/丨z丨<1。∵1/(1-z)=(-1/z)/(1-1/z)=(-1/z)∑(1/z)^n=-∑1/z^(n+1)，两边对z求导，∴1/(1-z)²=∑(n+1)/z^(n+2)，n=0,1,2,…,∞。
∴f(z)=∑(n-2)/z^n，其中，n=3,4,，…，∞；1<丨z丨<∞。
(4)，1<丨z-1丨<∞，∴0<1/丨z-1丨<1。∵1/z=1/[1+(z-1)]=[1/(z-1)]/[1+1/(z-1)]=[1/(z-1)]∑[(-1/(z-1)]^n，∴f(z)=[1/(1-z)²]∑[(-1)^n]/(z-1)^(n+1)，n=0,1,2,…,∞。
∴f(z)=∑[(-1)^(n-1)]/(z-1)^n，其中，n=3,4,…，∞；1<丨z-1丨<∞。

Answer 2

f(z)=1/5*[-z/(z²+1)+2/(z²+1)-1/(2-z)]。因为1<|z|<2，所以|z/2|<1，|1/z²|<1。前两项，提出一个1/z²，化成-z/z²*1/(1+1/z²)和2/z²*1/(1+1/z²)。
1/(1+1/z²)就用公式1/(1-z)=1+z+z²+...展开，用-1/z²去换z即可。
第三项，提一个1/2，变成-1/2*1/(1-z/2)，同样套上面的公式，只不过这次是用z/2去换z。三项都展开为幂级数之后，一般情况下你是没有办法合并成为一个幂级数的，所以一般来说写到这一步就完成了。当然你也可以把这个幂级数的