设a>b>0,证明(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b（要过程）

Question

要求用微分中值定理证明

Answer 1

设a/b=x
就变成1-1/x<lnx<x-1 x>1
第一个<号
令f(x)=lnx+1/x-1
求导1/x-1/x^2=1/x(1-1/x)>0
所以f(x)递增 最小值是f(1)=0 所以f(x)>0 第一个<成立

第二个<号
令f(x)=x-1-lnx
求导1-1/x>0 递增 f(1)=0 所以f(x)>0 第二个<成立

微分中值定理
令f(x)=lnx f'(x)=1/x
由拉格朗日中值定理
存在b<c<a
f(a)-f(b)=f'(c)(a-b)
lna-lnb=1/c*(a-b) 那么ln(a/b)=1/c*(a-b)
其中b<c<a 所以(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b

Answer 2

解：
将所求式化简
得1-a/b<ln(a/b)<a/b-1
1.
令a/b=t 因为a>b>0 则t∈（1，+无穷）
记f（t）=t+lnt
f(t)求导=1+1/t 在定义域上恒大于0
所以f(t)在定义域上单调增
所以f(t)＞f（1）=1
所以a/b+ln(a/b)＞1
所以1-a/b＜ln(a/b)
2.
记g（t）=t-lnt t∈（1，正无穷）
g(t)求导=1-1/x 在定义域上恒大于0
所以g(t)在定义域上单调增
所以g(t)＞g（1）=1
所以ln(a/b)<a/b-1
结合1.2可知
1-a/b<ln(a/b)<a/b-1
所以(a-b)/a<ln(a/b)<(a-b)/b