记得我上初中的时候，物理老师说这个问题无法在数学上证明，因为物体形状太复杂，只有简单形状才能证明。
高中之后，发现其实就是个数学上的高斯定理(梯度形式)。
一个面积积分(压强在表面的面积积分，就是浮力)，等于梯度的体积积分。这里取负号是因为高斯定理在数学上一般习惯上是指向外的，但是水的压力是指向内的。
这个证明有一点缺陷，那就是，如果物体浮在水面上的话，积分将不是环路。但是你可以凑一个压强为零放在水面上，让它变成环路。
学物理的过程中，掌握定理的证明过程极其重要。因为它可以帮助你解决很多疑惑。例如举个例子，如果把一块砖的下面沾满水泥，然后放在盛满水的游泳池里面。过几天砖就跟游泳池凝固在一起了。请问，阿基米德原理能否继续对砖成立？表面上看起来“物体所受的浮力等于其排开水的重力”这句话并没有否定砖仍然排开了水。可是按照以上的证明过程，一个二维积分转化成三维积分的过程中，必须保证是环路积分。这样子的话，一旦水泥凝固，水进不去砖块的下面，围绕砖的环路被水泥破坏了，阿基米德原理不再成立。但是浮力仍然可能存在，不等于排开水的重力。因此，学物理的时候，千万不要死记硬背，要搞清楚定理的证明过程和成立条件。没有任何物理定律可以无条件成立，物理的定律适用范围非常窄，不清楚证明过程，往往就用错了地方。这是物理和数学的最大区别。
高斯定理是最伟大的数学定理，它把两个不同维度的积分联系在一起，这种定理直击微积分的本质。
一个物体受到的浮力二维的，它排开水的重力正比于体积是三维的。打个比方就是说，你们班第一名男孩表面散发的魅力(二维)，等于他内在的才华(三维)。再打个比方，一个灯泡的玻璃的表面接收到多少光(二维)，等于灯丝发出了多少光（三维）。
从某种意义上说微积分基本定理也是把1重积分与0重积分联系在一起。在微分几何领域有个万能公式，这个定理叫做斯托克斯定理，可以直接推导出高斯定理。这是数学中最美的定理. 这个定理是把两个不同维度的形式联系在一起。这是微积分中最本质的东西，是大量物理现象的之母。从某种意义上说，由于这个公式的存在，物理定律出现了微分形式和积分形式。
阿基米德原理的微分形式可以这么推导，假设浮力密度，则所以就是浮力的密度，大小等于压强的梯度，方向相反。一个物理原理的微分形式，往往比积分形式更靠近物理实质。比如说这个阿基米德原理的微分形式告诉我们，浮力产生的根源，在于压强存在梯度。按照这个说法，哪怕不存在重力场，只要存在压强梯度，就会有浮力。
如果同学们意识不到这个微分形式的威力，我们不妨做一道题看看。在无重力场的太空中，一个装满水瓶子装满水，瓶子水平放置，瓶口固定在一个竖直的轴上，轴以角速度快速旋转。请问瓶子里的一个物体受到多大的浮力？
由于存在惯性离心力，可以算出距离轴距离处的压强为，所以压强在处的梯度为。所以一个体积为的物体说受到的浮力大约为，其中为物体质心距离轴的距离。所以物体受到的浮力，竟然跟位置有关，还跟旋转的速度有关。这个结论，用传统的阿基米德原理是得不出来的。
这道题看似远离实际生活，其实不然。在新闻中，我们经常看到一种提纯铀制作核武器的机器，叫做离心机。离心机，就是通过高速旋转，制造气体的压强梯度，从而产生浮力。由于根据我们刚才的推导，浮力跟转速相关，所以浮力的大小可以调整，使得不同的物质可以上浮(靠近转轴)或者下沉(远离转轴)，从而起到提纯铀元素的效果。
再出一道题：一个水柜的的右侧有个出水口，因为出水口的位置，导致水柜内水的流速随着深度的函数关系是，一个物体悬浮在深度为处与水柜相对静止，求它的密度。
这个题不是静止液体，需要利用帕斯卡定律。帕斯卡定律认为，流动的液体满足一个恒等式由此可以求出压强随深度的关系是所以压强的梯度就是。所以如果物体保持悬浮，它的重力和浮力应当平衡，它的密度应当是。也就是说，在这道题里面，由于液体存在流速，浮力跟深度有关。
这个题跟现实生活关系更加紧密，这个场景，工程上叫做风洞试验。飞机设计中，就是故意让上下机身的形状不同，使得空气的流速不同，而产生了额外的压强梯度，从而产生浮力，也就是升力。从这个角度来说，飞机也是利用了阿基米德原理。
从更本质的角度说，这个高斯定理实际上跟 cohomology 上同调有渊源。直指数学前沿。
阿基米德原理，是数学和物理的合体，背后的本质，足可以完成一个博士学位！
阿基米德原理，是初中生在学物理的过程中遇到的第一个非平庸的定理，从某种意义上说，到了阿基米德原理，让初中物理从“文科”变成了“理科”。这是初中物理最精华的地方。高中会遇到更多的非平庸定理，真正进入物理学世界。
最后补充一个笑话：俺初中物理老师说，有同学说幸亏中国在地球上半边，可为啥南极的企鹅不会往下掉？因为地球太大啦！
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