深入探索数列和函数极限的奥秘，首先需要理解的是极限的保号性，这是理解其核心不等式性质的关键。它不仅限于数列，实际上，函数极限的保号性可以视为其扩展形式。让我们先聚焦于数列极限的不等式特性，因为它们为我们揭示了这一概念的基石。
数列极限的不等式核心</
当我们谈论，如，如果对于任意给定的，当趋于某个值时，有，那么就有，简写为。这个性质展示了极限如何保持不等式的方向，即使在数列的无穷递进中。
严谨的证明与理解</
证明过程如下：取，当，同时满足和。这个关系对所有都成立。选取，当，我们有
通过将两个不等式相加，我们得到：当极限条件满足时，不等式的方向得以保持，即。
不等式性质的深入解析</
（1）小于号的严格性揭示了极限对数列的决定性：只有当，才会得到，反之则不成立。例如，尽管每一项都大于的对应项，但极限不相等。
（2）选择的策略来自几何直觉：通过限制，确保当趋近于某个值时，两个区间之间的距离逐渐减小，直到“相切”或“相离”。这个选择至关重要，因为它确保了结论的严谨性。
（3）对的限制并非随意：它确保了极限的性质只针对和，而非单独的。若不限制，结论可能不成立，因为需要保证足够大以保持不等式的方向。
保号性定理的拓展</
数列极限的保号定理表明，当充分大时，数列的正负号被极限保持。例如，如果，那么，说明在极限过程中，正数和负数都保持其初始的符号。
结论的几何意义</
理解保号性定理背后的几何意义，就是认识到不等式中的等号在极限过程中，代表了数列元素和极限值的共同路径，即使速度有差异，它们仍保持同一方向。