矩阵初等变换是什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

矩阵初等变换是指利用左乘或右乘一个矩阵进行的变换。具体来说，矩阵初等变换包括三种基本变换：交换两行、交换两列以及倍乘某一行或某一列的元素。下面我将详细解释这三种基本变换。
1. 交换两行：将矩阵中两行的位置互换。例如，对于一个3x3的矩阵，若交换第1行和第2行，得到新矩阵：
$\begin{bmatrix}
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{bmatrix}$
2. 交换两列：将矩阵中两列的位置互换。例如，对于一个3x3的矩阵，若交换第1列和第2列，得到新矩阵：
$\begin{bmatrix}
a_{1,2} & a_{1,1} & a_{1,3} \\
a_{2,2} & a_{2,1} & a_{2,3} \\
a_{3,2} & a_{3,1} & a_{3,3}
\end{bmatrix}$
3. 倍乘某一行或某一列的元素：将某一行或某一列中的元素乘以一个非零常数k。例如，对于一个3x3的矩阵，可以将第2行的所有元素乘以2，得到新矩阵：
$\begin{bmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\
2a_{2,1} & 2a_{2,2} & 2a_{2,3} \\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}
\end{bmatrix}$
总的来说，矩阵初等变换是矩阵在行列式计算和线性方程组解法中的关键步骤。在矩阵运算中，对矩阵进行初等变换不会改变矩阵的秩和矩阵等价关系，但是可以方便地求解矩阵的行列式、逆矩阵、线性方程组等问题。