用计算机求a的算术平方根

Question

如题所述

Answer 1

计算机求算术平方根
算术平方根是数学中的一个概念，指非负实数的一个值，它的平方等于给定实数。在计算机中，我们也可以使用一些算法来求解算术平方根。本文将介绍两种常见的求算术平方根的方法：二分法和牛顿迭代法。

二分法
二分法是一种常见的数值计算方法，它的基本思想是将一个区间分成两个子区间，判断目标值所在的子区间，然后继续在该子区间内进行搜索。以求算术平方根为例，我们可以通过不断缩小左右边界的范围，直到找到一个最接近目标值的答案。

具体来说，对于一个非负实数a，我们可以将其平方根的范围限定在[0,a]之间，左右边界分别为0和a。接着，我们可以不断取区间中间位置mid来求mid的平方与a的大小关系，如果mid的平方小于a，说明mid应该在左边的子区间内；否则，说明mid应该在右边的子区间内。通过反复缩小左右边界的范围，最终可以得到一个接近a的算术平方根。

以下是二分法求算术平方根的示例代码：

```

double sqrt(double a) {

double l = 0, r = a, mid = (l + r) / 2;

while (fabs(mid * mid - a) > 1e-9) {

if (mid * mid < a) l = mid;

else r = mid;

mid = (l + r) / 2;

}

return mid;

}

```

牛顿迭代法
牛顿迭代法是一种数值解法，它通常用于求解方程的根。对于一个连续可微的函数f(x)，如果我们已知一个近似解x0，那么我们可以通过不断计算函数f(x)在x0处的切线与x轴的交点，得到一个近似更好的解x1；接着，我们可以用x1来代替x0，不断迭代，直到满足一定的精度要求。

对于求算术平方根，我们可以设置f(x)=x^2-a，其中a为测试样例。如果我们已知一个近似解x0，那么我们可以通过如下公式计算f(x0)的切线与x轴的交点x1：

```

x1 = (x0 + a / x0) / 2

```

接着，我们可以用x1来代替x0，不断迭代，直到满足一定的精度要求。以下是牛顿迭代法求算术平方根的示例代码：

```

double sqrt(double a) {

double x0 = a, x1 = (x0 + a / x0) / 2;

while (fabs(x1 - x0) > 1e-9) {

x0 = x1;

x1 = (x0 + a / x0) / 2;

}

return x1;

}

```

总结
本文介绍了两种常见的求算术平方根的方法：二分法和牛顿迭代法。二分法的思想简单易懂，容易实现，但其迭代次数较多，可能导致算法效率较低；牛顿迭代法的迭代次数相对较小，收敛速度较快，但需要进行函数求导和除法等运算，可能导致实现难度较高。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择合适的算法，并进行优化，以提高计算效率。