如图，抛物线y＝x 2 ＋bx＋c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0,－3），且抛物线的对称轴

Question

如图，抛物线y＝x 2 ＋bx＋c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0,－3），且抛物线的对称轴是直线x=1． （1）求b的值；（2）点E是y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．当线段PQ = AB时，求点E的坐标；（3）若点M在射线CA上运动，过点M作MN⊥y轴，垂足为N，以M为圆心，MN为半径作⊙M,当⊙M与x轴相切时，求⊙M的半径.

Answer 1

（1）b="-2" （2）点E的坐标为（0，- ） （3）

试题分析：解：（1）由图可知，对称轴x=1 X= = =1 即b=-1 （2）∵抛物线的对称轴为直线x=1 ∴设抛物线的解析式为y＝(x-1) 2 ＋k ∵抛物线过点C（0,－3）， ∴ (0-1) 2 ＋k＝-3 解得k＝-4 抛物线的解析式为y＝(x-1) 2 -4＝x 2 -2x-3 令y=0，则x 2 -2x-3=0 解得x 1 = 3，x 2 = -1 点A坐标为（-1,0），点B坐标为（3,0） ∴AB=4，又PQ = AB ∴PQ ="3" ∵PQ⊥y轴 ∴PQ∥x轴 设直线PQ交直线x=1于点G 由抛物线的轴对称性可得，PG= ∴点P的横坐标为 -   将点P的横坐标代入y＝x 2 -2x-3中，得y =" -" ∴点P坐标为（- ，- ） ∴点F坐标为（0，- ） ∴FC=" -"  -( -3)=   ∵PQ垂直平分CE ∴CE="2" FC= ∴点E的坐标为（0，- ） (3)设直线l A C ：y="k" x+ b(k≠0) 过点A（-1,0），C（0，-3） ∴y=-3x+3 ∴M（x M ,-3x M +3） 又∵⊙M与x轴相切，MN⊥y轴 ∴x M =-3x M +3 ∴x M = ∴⊙M的半径为 点评：此类题可以利用抛物线的对称性可求出抛物线的解析式，函数值，两点间的距离，点的坐标，利用对称点的坐标也可以求出其对称轴，要认真体会，灵活应用。