高二数学 圆与直线的方程

Question

已知点P（5，0）和圆：x2+y2=16
（1）自点P作圆O的切线，求切线的长和切线方程。
(2)过点P任意作直线l与圆O交与A、B两点，求弦AB中点的轨迹方程。
求具体的解题过程和思路，谢谢咯~~

Answer 1

(1)自点P作圆O的切线为y=kx-5k(x=5与圆O不相切)
圆O圆心(0,0),半径r=4
(-5k/(1+k^2))^2=16
k=正负4/3
所以y=4/3x-20/3或y=-4/3x+20/3与圆O相切
设切点为A
PA=根号(PO^2-OA^2)=根号(5^2-4^2)=3
(2)
设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx-5k(x=5与圆O不相交)
y=kx-5k
x^2+y^2=16
=>(1+k^2)x^2-10k^2x+25k^2-16=0
x1+x2=10k^2/(1+k^2)
y1+y2=kx1-5k+kx2-5k
=k(x1+x2)-10k
=-10k/(1+k^2)
中点C(5k^2/(1+k^2),-5k/(1+k^2))

Answer 2

（1）连接OP，设切点为A.你先把图画出来r=4
由坐标点得OP长为根号下5平方+0=5
又r=1.所以根据勾股定理PA=根号下5平方-1平方=2根号6
根据圆的对称性切线有2条设A坐标x1,y1
B(另一切点)为x2，y2.则据公式l1：x1x+y2y=r平方
l2：x2x+y2y=r平方。又p是l1，l2的交点。把x1，x2看做自变量。(5,0)
在直线AB上所以lAB:5x=r平方
联立lAB：5x=r平方与：x2+y2=16
得A（16／5，12／5）B（16／5，-12／5）
所以lap：4x+3y-20=0
lbp：4x-3y-20=0
2）
1，k不存在。x=5.与圆相离
故k存在
斜率为k
ab：kx-y-5k=0
x2+y2=16
关键方程：（1+k^2）x^2-10k^x+25k-16=0

设A（x1，y1）B(X2,Y2)c为轨迹上任一点
c（x，y）
x=x1+x2／2
y=y1+y2／2
据韦达定理x1+x2=10k^2／（1+k^2）
y1+y2=k(x1-5)+k(x2-5)=10k^3／（1+k^2）-10k
然后消k