、浮点数的表示
一个浮点数（Floating Point Number）由三个基本成分构成：符号（Sign）、阶码（Exponent）和尾数（Mantissa）。
通常，可以用下面的格式来表示浮点数： S P M
其中S是符号位，P是阶码，M是尾数。
根据IEEE（美国电气和电子工程师学会）754标准中的定义，单精度（Single Precision）浮点数是32位（即4字节）的，双精度（Double Precision）浮点数是64位（即8字节）的。两者的S、P、M所占的位数以及表示方法由下表可知： S P M 表示公式 偏移量
单精度浮点数
1（第31位）
8（30到23位）
23（22到0位）
(-1)^S*2(P-127)*1.M
127
双精度浮点数
1（第63位）
11（62到52位）
52（51到0位）
(-1)^S*2(P-1023)*1.M
1023
其中S是符号位，只有0和1，分别表示正负。
P是阶码，通常使用移码表示（移码和补码只有符号位相反，其余都一样。对于正数而言，原码、反码和补码都一样；对于负数而言，补码就是其绝对值的原码全部取反，然后加1）。阶码可以为正数，也可以为负数，为了处理负指数的情况，实际的指数值按要求需要加上一个偏差（Bias）值作为保存在指数域中的值，单精度数的偏差值为127，双精度数的偏差值为1023。例如，单精度的实际指数值0在指数域中将保存为127，而保存在指数域中的64则表示实际的指数值-63，偏差的引入使得对于单精度数，实际可以表达的指数值的范围就变成-127到128之间（包含两端）。
M为尾数，其中单精度数为23位长，双精度数为52位长。IEEE标准要求浮点数必须是规范的。这意味着尾数的小数点左侧必须为1，因此在保存尾数的时候，可以省略小数点前面这个1，从而腾出一个二进制位来保存更多的尾数。这样实际上用23位长的尾数域表达了24位的尾数。例如对于单精度数而言，二进制的1001.101（对应于十进制的9.625）可以表达为1.001101 × 23，所以实际保存在尾数域中的值为00110100000000000000000，即去掉小数点左侧的1，并用0在右侧补齐。
根据标准要求，无法精确保存的值必须向最接近的可保存的值进行舍入，即不足一半则舍，一半以上（包括一半）则进。不过对于二进制浮点数而言，还多一条规矩，就是当需要舍入的值刚好是一半时，不是简单地进，而是在前后两个等距接近的可保存的值中，取其中最后一位有效数字为零者。
据以上分析，IEEE 754标准中定义浮点数的表示范围为： 二进制（Binary）
十进制（Decimal）
单精度浮点数
± (2-2^-23) × 2127
~ ± 10^38.53
双精度浮点数
± (2-2^-52) × 21023
~ ± 10^308.25
浮点数的表示有一定的范围，超出范围时会产生溢出（Flow），一般称大于绝对值最大的数据为上溢（Overflow），小于绝对值最小的数据为下溢（Underflow）。
二、浮点数的表示约定
单精度浮点数和双精度浮点数都是用IEEE 754标准定义的，其中有一些特殊约定，例如：
1、当P=0，M=0时，表示0。
2、当P=255，M=0时，表示无穷大，用符号位来确定是正无穷大还是负无穷大。
3、当P=255，M≠0时，表示NaN（Not a Number，不是一个数）。
三、非规范浮点数
当两个绝对值极小的浮点数相减后，其差值的指数可能超出允许范围，最终只能近似为0。为了解决此类问题，IEEE标准中引入了非规范（Denormalized）浮点数，规定当浮点数的指数为允许的最小指数值时，尾数不必是规范化（Normalized）的。有了非规范浮点数，去掉了隐含的尾数位的制约，可以保存绝对值更小的浮点数。而且，由于不再受到隐含尾数域的制约，上述关于极小差值的问题也不存在了，因为所有可以保存的浮点数之间的差值同样可以保存。
根据IEEE 754标准中的定义，规范和非规范浮点数的表示范围可归纳为下表： 规范浮点数
非规范浮点数
十进制近似范围
单精度浮点数
± 2^-149 至 (1-2^-23)*2^-126
± 2^-126 至 (2-2^-23)*2^127
± ~10^-44.85 至 ~10^38.53
双精度浮点数
± 2^-1074 至 (1-2^-52)*2^-1022
± 2^-1022 至 (2-2^-52)*2^1023
± ~10^-323.3 至 ~10^308.3
参考资料：计算机的运算方法 浮点表示