一道高数无穷小问题

Question

根号下1+x^2再减1 为什么与x^2/2 是等价无穷小？
麻烦大家解答一下哦
会好好答谢的……orz

Answer 1

把根号下(1+x^2)-1看成分子，此时它的分母是1,分子分母同时乘以
根号下(1+x^2)+1 得到
根号下(1+x^2)-1
=[(根号下(1+x^2)-1)(根号下(1+x^2)+1)]/(根号下(1+x^2)+1)
=[(1+x^2)-1]/(根号下(1+x^2)+1)
=x^2/(根号下(1+x^2)+1)
由此可知当x趋于0时， lim[根号下(1+x^2)-1]/(x^2/2)=
lim[x^2/(根号下(1+x^2)+1)]/(x^2/2)=lim 2/(根号下(1+x^2)+1)=1
所以x趋于0时，根号下1+x^2再减1 与x^2/2 是等价无穷小

Answer 2

解：∵lim(x->0){[√(1+x²)-1]/(x²/2)}
=lim(x->0){[√(1+x²)-1][√(1+x²)+1]/((x²/2)[√(1+x²)+1])} (分子分母同乘以[√(1+x²)+1])
=lim(x->0){2/[√(1+x²)+1]}
=1`
∴根据等价无穷小定义，知[√(1+x²)-1]与(x²/2)是等价无穷小.

Answer 3

看看

Answer 4

洛必达，两部分相比上下同求导