两个周期函数相加还是周期函数吗

Question

如题所述

Answer 1

不一定
u(x)
=
sin
x
周期2π
v(x)
=
sin
2πx
周期1
f(x)
=
u(x)
+
v(x)
=
sin
x
+
sin
2πx
就不是周期函数
反证法，如果f(x)是周期函数，且最小正周期是t
f(x+t)
-
f(x)
=
sin(x+t)
+
sin(2πx
+
2πt)
-
sinx
-
sin(2πx)
=
2cos(x+t/2)sin(t/2)
+
2cos(πx+πt)sin(πt)
=
0
上式对于任何x都等于0，所以必须两个系数都恒等于0，也就是
2sin(t/2)
=
0
2sin(πt)
=
0
分别求得：
t=2mπ;
t=n
其中m,n是正整数
则2mπ=n；π=n/2m
n/2m是有理数，而π是无理数，矛盾，所以原命题得证，f(x)不是周期函数

Answer 2

两个周期函数周期的比值是有理数则其和还是周期函数，比值是无理数则其和不是周期函数。