极值和最值的区别

Question

如题所述

Answer 1

极值和最值的区别：概念范围不同、存在性不同、关系不同。

1、概念范围不同：极值是局部概念，指的是在某个特定点附近的值；最值是整体概念，指的是在整个定义域或区间上的值。

2、存在性不同：极值不一定存在，取决于函数在该点的性质；最值在闭区间上一定存在，因为根据闭区间连续函数的最大值和最小值定理，闭区间上的连续函数必有最大值和最小值。

3、关系不同：极值点可能是最值点，但最值点不一定是极值点。例如，函数在端点取得的值可能是最值，但不是极值，因为极值点要求函数在该点的导数为零或不存在，而端点的导数通常不为零。

求解函数的极值方法

寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的一个。

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在关键点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。