如何证明圆的切线方程？

Question

如题所述

Answer 1

切线方程

圆的切线方程：
　　
[过圆外一点的2条切线]
过圆外一点的2条切线
若点P(x0,y0)在圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0上,则过点P的切线方程为x0x+y0y+D*(x+x0)/2+E*(y+y0)/2+F=0
　　或表述为：
　　若点P(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2
[编辑本段]
关于圆的切线方程的证明：
　　对于“若点P(x0,y0)在圆（x-a)^2+(y-b)^2=r^2上，则过点P的切线方程为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2的证明”
　　
1）简单易理解的是向量法证明

　　设圆上一点A为（x0,y0),则该点与圆心O的向量OA=（x0-a,y0-b)
　　因为过该点的切线与该方向半径垂直，则有切线方向上的单位向量与向量OA的点积为0.
　　设直线上任意点B为(x,y)
　　则直线方向上的向量AB=（x-x0,y-y0)
　　AB●OA=(x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)=0
　　将（x-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-y0)变形处理：
　　原式
　　=（x-a+a-x0)(x0-a)+(y0-b)(y-b+b-y0)
　　=(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)-(x0-a)^2-(y0-b)^2
　　将变形带入。
　　(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
　　
2）思路简单但运算麻烦的解法，算斜率

　　设圆上一点A为（x0,y0),则有：(x0-a)^2+(y0-b)^2=r^2
　　对隐函数求导，则有：
　　2(x0-a)dx+2(y0-b)dy=0
　　dy/dx=(a-x0)/(y0-b)=k
　　（隐函数求导法亦可证明椭圆的切线方程，方法雷同）
　　或直接k1=(y0-b)/(x0-a); k*k1=-1;（k1为与切线垂直的半径斜率。）
　　得k=(a-x0)/(y0-b) （以上处理是假设斜率存在，在后面讨论斜率不存在的情况）
　　所以切线方程可写为：y=(a-x0)/(y0-b)x+B
　　将点（x0,y0),可求出B=（x0-a)x0/(y0-b)+y0
　　所以:
　　y(y0-b)+(x0-a)x=(x0-a)x0+(y0-b)y0
　　(y0-b)(y-b+b-y0)+(x0-a)(x-a+a-x0)=0
　　(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=(x0-a)^2+(y0-b)^2
　　(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=R^2
　　当斜率不存在时，切点为与x轴平行的直线过圆心与圆的交点。
　　此类切点有2个，不妨设为M（a-r,b);N(a+r,b)
　　(y0-b)(y-b)+(x0-a)(x-a)=r^2
　　将2点带入上式，亦成立。
　　故得证。