. 通俗的说法，线性相关是指：在“线性”的意义下，所考虑的一些元素有关系；线性无关是指没有关系。
2. 在向量空间中，要讨论向量之间的关系，能且只能用加法与数乘这两个运算来实现，这两个运算体现了“线性”的含义。通过加法与数乘可以构造有限个向量的线性组合。如果一个向量不能由给定的有限个向量线性组合出来，这个向量和那些向量没有线性关系！如果一个向量组中的任何向量和其余的没有线性关系，就称这个向量组线性无关，否则线性相关。
3. 直观上理解，线性相关的向量组中存在多余的向量，去掉它们不影响所考虑的问题。比如，在一个线性方程组中，如果一个方程（或其系数向量）是其余方程的线性组合，这个方程去掉得到同解的方程组。再比如，在一个向量组中，只需考虑极大无关组，它和原来的向量组是等价的。在一个有限维向量空间中，它的基很重要，基定了，整个空间中的向量就可以写成基的线性组合的形式，且由无关性，这种表达方式是唯一的。
4. 相关定理是指：如果个数多的向量组可以由个数少的向量组线性表出，那么多的向量组必定线性相关。
这个结论的证明主要用到未知量个数多于方程个数的齐次线性方程组必有非零解。向量的个数等于未知量的个数，未知量越多，越有可能有非零解；向量分量的个数等于方程的个数，方程越多，越有可能无解。
5. 一般地，线性相关性对应齐次线性方程组有非零解；线性无关性对应齐次线性方程组只有零解；一个向量表示为其它向量的线性组合对应于一般的线性方程组的求解问题。因此，线性相关、线性无关性的讨论，本质上就是线性方程组的解的讨论，这是同一个问题的两种表现形式。
6. 任何无关向量组都可以扩充成整个空间的一组基。由此可以说明：向量空间V的任何子空间U都存在补子空间W，使得V写成U与W的直和。这时，也说向量空间总是可分解的。对其他的代数结构，一般没有这么好的结论。事实上，向量空间是一种非常简单的代数结构，单独对它的研究没有太大的意义，只是一种实验或练习，或者作为其它更复杂的代数结构的基础。
7. 通过给定的基，每个基元素的倍数是一个1维子空间，整个空间可写成相应的1维子空间的直和。不难看出：一个向量组线性无关当且仅当由向量组中的向量确定的这些1维子空间成直和。由此可以定义向量空间的某些子空间的线性无关性：它们成直和。比如，不同特征值对应的特征子空间是线性无关的，因为它们成直和。即，属于不同特征值的特征向量线性无关。
8. 构造一个抽象的向量空间非常容易：任意给定一个集合，可以构造一个向量空间，它以给定的集合为基，这个向量空间的向量是一些形式表达式，运算是自然定义的。要定义一个线性映射也不难：只要在基向量上定义其值，再做线性扩充即可。可以想象：向量空间退化为它的一组基，相应的线性映射就变成集合的映射了。
9. 对由无限个向量构成的向量的集合，它线性无关是指：其中的任意有限子集都是线性无关的。比如，对一元多项式空间P[X]来说，变量X的所有方幂构成的子集是线性无关的，它是这个空间的一组基。对幂级数空间P[[X]]，它是无限维的，实际上它具有不可数的维数（这里需假定P不可数），可以给出它的不可数个向量，它们构成线性无关的子集。
10. 有限维向量空间一定存在基，这不难说明。要证明无限维向量空间基的存在性，就没那么简单了。这时，需要引进偏序关系、偏序集等概念，从而可以陈述著名的Zorn引理，利用Zorn引理可以证明：任何向量空间都有基（尽管未必能具体给出）。
11. 有限维向量空间有多少基？当然，一般有无穷多组基。实际上，通过两组基的过渡矩阵可以把基与可逆矩阵一一对应起来，有多少可逆矩阵就有多少基。把基的个数的问题转化为可逆矩阵的问题。
12. 线性相关、线性无关的主要想法就是向量组或者方程组的化简问题，在不影响问题讨论的前提下，去掉多余的元素。后面还将考虑线性变换、二次型的化简问题。
题外话：在某种意义下，数学的主要目的是简化问题，从而更有效的处理问题。数学严格化或抽象化的过程，使得问题的表述更准确，更容易看清问题的本质所在，还可以找到不同问题的统一处理方法。
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