求下列函数在给定区间上的最大值+与最小值:+y=e^(-x)sinx,x∈[0,2π]

Question

求下列函数在给定区间上的最大值
与最小值:
y=e^(-x)sinx,x∈[0,2π]

Answer 1

首先，我们需要求出函数y=e^(-x)sinx在区间[0,2π]上的导数。通过对y=e^(-x)sinx进行求导，可以得到：
y' = -e^(-x)sinx + e^(-x)cosx
接下来，我们需要找到y'的零点，也就是y'=0的解，来确定y的极值点。因为y'是一个连续可导的函数，所以y'=0时，可能出现极值点或拐点。
将y'化简后，得到：
y' = e^(-x)(cosx - sinx)
如果要求y的最大值和最小值，我们需要找到y'在区间[0,2π]上的所有零点。因为y'在[0,2π]上为连续函数，所以y'的零点只会出现在两个相邻的极值点之间，或者在区间的端点处。
对于y' = e^(-x)(cosx - sinx)来说，cosx - sinx = 0时，y' = 0，因此y'的零点为：
x1 = π/4 和 x2 = 5π/4
又因为y'在x=π/2和x=3π/2处不存在，因为此时e^(-x)为0，所以y在这两点可能是极值点。
现在我们可以列出y的可能极值点和拐点：
- 当x=0时，y=e^0sin(0)=0
- 当x=π/4时，y=e^(-π/4)sin(π/4)
- 当x=π/2时，y=e^(-π/2)sin(π/2)=e^(-π/2)
- 当x=3π/4时，y=e^(-3π/4)sin(3π/4)
- 当x=π时，y=e^(-π)sin(π)=0
- 当x=5π/4时，y=e^(-5π/4)sin(5π/4)
- 当x=3π/2时，y=e^(-3π/2)sin(3π/2)=-e^(-3π/2)
- 当x=7π/4时，y=e^(-7π/4)sin(7π/4)
现在我们需要比较这些点的函数值来确定y的最大值和最小值：
首先，由于y是奇函数（也就是说，y在[-2π,0]上与[0,2π]上相对称），因此y在x=π/2处必然取得最小值-e^(-π/2)，而不可能存在更小的值。
其次，我们可以计算出其他可能的极值点的函数值，然后进行比较：
y(0) = 0
y(π/4) ≈ 0.247
y(3π/4) ≈ -0.247
y(π) = 0