此题严格证明要有一些背景知识。欧拉线：http://baike.baidu.com/view/145768.htm证明：考虑证原命题的逆否命题：非等腰三角形四心不会共线。因为外(O)、重(G)、垂(H)三心在欧拉线上，所以只须证明内心(I)不在欧拉线上。不妨设三边满足a情形①：∠C>90°，即△ABC为钝角三角形。如图：
∵BJ/JC=c/b>1，∴BJ>JC同理：AK>KC,AL>BL据此作图后知：内心I必定位于△DCG内。外心O在三角形外，且∠BFC∴∠OFG=∠OFB+∠BFC=90°+∠BFC∴欧拉线必然穿过△GFB和△GCE，除了G点与△DCG没有公共部分。∴内心I不在欧拉线上。情形②：∠C如图：
设角平分线BK、CL分别交欧拉线于点X和点Y。以下证明一个加强结论：内心必定位于四边形GDMH中，即在欧拉线下方。∵∠AFC>90°，∠BDA>90°，∠AEB>90°∴过三边中点D、E、F的垂线必定交于△AGF内部，即外心O在△AGF中。同理：垂心必定位于△CDG内部。同情形①：内心必定位于△CDG内部。又∵∠AOB=2∠ACB=2∠BOF∴∠ACB=∠BOF又∵∠ACB+∠CBN=∠OBA+∠BOF=90°∴∠OBA=∠CBN，同理∠BCP=∠ACO，∠BAO=∠CAM∴△ABC的角平分线BK平分∠OBH，同理CL平分∠OCH，AJ平分∠OAH∴OB/BH=OX/HX…………①,OC/CH=OY/HY…………②又∵BM>CM,∴BH=√(BM^2+MH^2)>√(CM^2+MH^2)=CH又∵OB=OC∴OB/BH两边同时加1得：OX+HX/HX∴HX>HY，点Y在线段HX上。∴CY的延长线与BX的交点必在BX线段内。而实际上，BX和CY的交点就是内心I。∴内心I在线段BX内。∴内心I必在四边形GDMH内部，不在欧拉线上。综上所述，非等腰三角形四心不共线。即：若三角形四心(O、I、G、H)共线，该三角形为等腰三角形。结论得证！
∵BJ/JC=c/b>1，∴BJ>JC同理：AK>KC,AL>BL据此作图后知：内心I必定位于△DCG内。外心O在三角形外，且∠BFC∴∠OFG=∠OFB+∠BFC=90°+∠BFC∴欧拉线必然穿过△GFB和△GCE，除了G点与△DCG没有公共部分。∴内心I不在欧拉线上。情形②：∠C如图：
设角平分线BK、CL分别交欧拉线于点X和点Y。以下证明一个加强结论：内心必定位于四边形GDMH中，即在欧拉线下方。∵∠AFC>90°，∠BDA>90°，∠AEB>90°∴过三边中点D、E、F的垂线必定交于△AGF内部，即外心O在△AGF中。同理：垂心必定位于△CDG内部。同情形①：内心必定位于△CDG内部。又∵∠AOB=2∠ACB=2∠BOF∴∠ACB=∠BOF又∵∠ACB+∠CBN=∠OBA+∠BOF=90°∴∠OBA=∠CBN，同理∠BCP=∠ACO，∠BAO=∠CAM∴△ABC的角平分线BK平分∠OBH，同理CL平分∠OCH，AJ平分∠OAH∴OB/BH=OX/HX…………①,OC/CH=OY/HY…………②又∵BM>CM,∴BH=√(BM^2+MH^2)>√(CM^2+MH^2)=CH又∵OB=OC∴OB/BH两边同时加1得：OX+HX/HX∴HX>HY，点Y在线段HX上。∴CY的延长线与BX的交点必在BX线段内。而实际上，BX和CY的交点就是内心I。∴内心I在线段BX内。∴内心I必在四边形GDMH内部，不在欧拉线上。综上所述，非等腰三角形四心不共线。即：若三角形四心(O、I、G、H)共线，该三角形为等腰三角形。结论得证！
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第1个回答 推荐于2016-12-02
任意三角形的垂心，重心，外心三点都共线;三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
欧拉线的证明(请看“参考资料”的图)
作△ABC的外接圆(圆心为O,垂心为H)，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径 ; ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ; ∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC ; ∴ DA‖CH，DC‖AH ; ∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC . ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ; ∴ OM= DC ; ∴ OM= AH
∵ OM‖AH ; ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ;∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合 ; ∴ O、G、H三点在同一条直线上
假设CH为∠ACB的角平分线,则等腰ΔBOC≌等腰ΔAOC
∴CB=CA. ∴四心共线（内、外、垂、重心)的三角形为等腰三角形
参考资料：http://baike.baidu.com/view/145768.htm本回答被提问者采纳
欧拉线的证明(请看“参考资料”的图)
作△ABC的外接圆(圆心为O,垂心为H)，连结并延长BO，交外接圆于点D。连结AD、CD、AH、CH、OH。作中线AM，设AM交OH于点G’
∵ BD是直径 ; ∴ ∠BAD、∠BCD是直角 ; ∴ AD⊥AB，DC⊥BC
∵ CH⊥AB，AH⊥BC ; ∴ DA‖CH，DC‖AH ; ∴ 四边形ADCH是平行四边形
∴ AH=DC . ∵ M是BC的中点，O是BD的中点 ; ∴ OM= DC ; ∴ OM= AH
∵ OM‖AH ; ∴ △OMG’ ∽△HAG’ ;∴ G’是△ABC的重心
∴ G与G’重合 ; ∴ O、G、H三点在同一条直线上
假设CH为∠ACB的角平分线,则等腰ΔBOC≌等腰ΔAOC
∴CB=CA. ∴四心共线（内、外、垂、重心)的三角形为等腰三角形
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第2个回答 2009-05-20
四心合一
三角形某一个角的角平分线和对边的高是同一条线，就能证明三角形是等腰三角形
这个角的角平分线（高）把三角形分成2个小直角三角形，这两个小直角三角形的一个锐角相等，所以，另外一个锐角也相等。即原来三角形的另外两个角相等
所以，原来的三角形是等腰三角形
三角形某一个角的角平分线和对边的高是同一条线，就能证明三角形是等腰三角形
这个角的角平分线（高）把三角形分成2个小直角三角形，这两个小直角三角形的一个锐角相等，所以，另外一个锐角也相等。即原来三角形的另外两个角相等
所以，原来的三角形是等腰三角形
第3个回答 2009-05-20
用反证法做。。假设不是等腰三角形。。
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