高数幂级数求和函数问题！ 求详细过程

Question

如题所述

Answer 1

设y=f(x)=x²-x^4/3+x^6/5-x^8/7+...
当x=0时y=0
当x≠0时两边除以x,得y/x=x-x³/3+x^5/5-x^7/7+...
两边求导,(y/x)'=1-x²+x^4-x^6+...
若令t=x²,则右边的幂级数可以写成1-t+t²-t³+...=1/(1+t),其中t∈(-1,1),|x²|<1,x∈(-1,1)是收敛区间,R=1是收敛半径
两边积分,并用x²换回t,即得到y/x=ln(1+x²)
∴y=xln(1+x²)
而当x=0时代入上式得y=0,即可用一个表达式来表示为f(x)=xln(1+x²)
最后当x=±1时f(x)都是莱布尼茨级数,收敛,∴收敛域为[-1,1]

Answer 2

收敛半径为1，使用比式判别法；收敛区间是[-1,1];两个端点用交错级数判别法。
和函数先提出x，然后求导，化为几何级数，求和得到1/(1+x^2),积分得到arctan（x^2）;
最后得到x*arctan(x^2);