对于一个函数无定义的一点如y=1/x x=0处，该点处导数不存在，那是否该点处左右导数也不存在呢？

Question

对于一个函数无定义的一点如y=1/x x=0处，该点处导数不存在，那是否该点处左右导数也不存在呢？如果肯定不存在是因为单侧导数以及导数的计算定义式中需要用到无定义那点的函数值所以导致无法计算，因此说不存在吗？还是有别的原因呢？又或者有别的说法可以证明单侧导数是可能存在的呢？

Answer 1

如果函数在某点无定义，例如f（x）=1/x在x=0点无定义。
那么此函数在该点，当然没有左导数和右导数。
因为无论是导数，还是任何一个单边导数，其计算式子中，都必须用到该点的函数值。
现在这个函数在该点没有定义，没有函数值，那么在求该点的导数中，就无法计算下去。当然就无法求出导数来。
任何所谓“证明”出来无定义点会有某个单边导数的“证明”，一定都是某种违背导数定义的错误证明。这是导数的定义（含单边导数的定义）所决定的。无需再质疑了。
定义不得质疑，定义不得违背。定义是一切证明的根本依据。

比方说，这个函数：
f（x）=x（x≠1）；也就是说对函数f（x）=x人为的去掉x=1这一点，仍函数在x=1点处无定义。
那么我们考察这个函数在x=1点处的左右导数的时候，不能根据左右的函数式f（x）=x计算得到左右导数为1，只能根据导数的定义公式得到f（1）不存在，所以无法计算出任何一个单边导数。