解:3题,∵a0/2+∑[ancos(nπx/l)+bnsin(nπx/l)]称为以2l为周期的f(x)的傅立叶级数,其中
a0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx,an=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx,bn=(1/l)∫(-l,l)f(x)sin(nπx/l)dx,n=1,2,……,∞。
本题中,l=1,f(x)=2-x,-1≤x<0、f(x)=2+x,0≤x<1。
∴a0=∫(-1,1)f(x)dx=∫(-1,0)f(x)(2-x)dx+∫(0,1)(2+x)dx=5,
an=∫(-1,1)f(x)cos(nπx)dx=∫(-1,0)(2-x)cos(nπx)dx+∫(0,1)(2+x)cos(nπx)dx=-2[1-(-1)n]/(nπ)^2,bn=0,
∴f(x)=5/2-∑[2/(nπ)^2][1-(-1)^2]cos(nπx),即f(x)=5/2-(4/π^2)∑[1/(2n-1)^2]cos[(2n-1)πx](n=1,2,……,∞)。
令x=0,则f(0)=2=5/2-(4/π^2)∑1/(2n-1)^2,即∑1/(2n-1)^2=(π^2)/8。而∑1/n^2=1+1/2^2+1/3^2+……+……=∑1/(2n-1)^2+(1/4)(1+1/2^2+1/3^2+……),
∴∑1/n^2=[(π^2)/8]/(1-1/4)=(π^2)/6。供参考。
追问你的正确率有保障吗? 这是课后作业和期末成绩有关诶
追答除开所限定的方法外,用其它方法验证过。对这3道题而言,100%的ok!
追问三道题都正确吗?
看来我可以放心采纳了 不过你为什么不写在纸上 把图片给我 你这个根本看不懂
你这an是不是有问题啊 函数里面的an和求出来的完全不一样啊
追答 没有问题。但变化过程中,的确其含义是不一样的。∵an=∫(-1,1)f(x)cos(nπx)dx=∫(-1,0)(2-x)cos(nπx)dx+∫(0,1)(2+x)cos(nπx)dx=-2[1-(-1)n]/(nπ)^2,
当n=2k-1(k=0,1,2……),即n为奇数时,a2k-1=-2[1-(-1)n]/(nπ)^2=[-4/(π^2)]/(2k-1)^2,
n=2k时,a2k=0。∴原an只留下了n=2k-1项,换成了a2n-1=[-4/(π^2)]/(2n-1)^2。供参考。